계승,factorial

Difference between r1.28 and the current

@@ -20,6 +20,37 @@
$0!=0\times(-1)! \;\to\; (-1)!=\frac{0!}{0}=\frac10=\infty$

via https://youtu.be/OUy4l7VO1OQ?t=407
= 단항식 x^n의 n계 미분과의 관계 =
[[단항식,monomial]] [[미분,derivative]] [[미분,differentiation]]
See [[MIT_Single_Variable_Calculus#s-4]]
= 상승계승 / 하강계승 =
rel. [[포흐하머_기호,Pochhammer_symbol]]
{
상승 포흐하머_기호
하강 포흐하머_기호
rel.
상승계승 / 하강계승 - curr at [[계승,factorial#s-4]]
[[상승계승,rising_factorial]]
[[하강계승,falling_factorial]]
WpKo:포흐하머_기호
https://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html
}
WpEn:Falling_and_rising_factorials
... Google:상승계승+하강계승 Google:rising.factorial+falling.factorial
== 상승계승 rising factorial ==
[[상승계승,rising_factorial]] - writing
== 하강계승 falling factorial ==
[[하강계승,falling_factorial]] - writing

= Prg Lang Impl =

@@ -35,6 +66,7 @@

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[[순열,permutation]], [[조합,combination]], [[이항계수,binomial_coefficient]] 계산에 쓰임.
순열의 경우,
$_n\mathrm{P}_{n}=n!$

@@ -65,10 +97,21 @@
* 소수계승(primorial)
* 초계승(superfactorial)

[[근사,approximation]]를 위한 [[스털링_공식,Stirling_s_formula]]이 있음.
계승의 또 다른 일반화:
Bhargava_factorial
{
Bhargava factorial
WpEn:Bhargava_factorial
"Bhargava factorial"
Ggl:"Bhargava factorial"
}
[[근사,approximation]]를 위한 [[스털링_공식,Stirling_formula]]이 있음.

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AKA '''팩토리얼, 차례곱'''(북한말)
CHK 한자 이름 階乘에서 계는 단계/계단 할 때 그거?[* "계승이란 단계를 내려가듯이 숫자를 하나씩 줄여가면서 곱해가는 연산을 말한다." (통계가 빨라지는 수학력)]

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338402&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 계승]]
https://planetmath.org/factorial
@@ -76,5 +119,4 @@
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Factorial
[[Namu:계승(수학)]]
http://oeis.org/wiki/Factorial


$n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n$

$0!=1$

$f(n)=\begin{cases}1&\textrm{ if }n=0,\,n=1\\nf(n-1)&\textrm{ if }n>1\end{cases}$



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1. 0! = 1인 이유

(x+1)! = (x+1)x!
x=0을 대입하면,
(0+1)! = (0+1)0!
1! = (1)0!
1 = 0!

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2. (-1)! = ∞ 인 이유? chk

$n!=n\times(n-1)!$ 이므로
$1!=1\times 0! \;\to\; 0!=\frac{1!}{1}=1$
이것을 확장하여 $(-1)!$ 을 구해보면
$0!=0\times(-1)! \;\to\; (-1)!=\frac{0!}{0}=\frac10=\infty$


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3. 단항식 x^n의 n계 미분과의 관계

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4. 상승계승 / 하강계승

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4.1. 상승계승 rising factorial

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4.2. 하강계승 falling factorial

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5. Prg Lang Impl


여러 언어 구현 참조: http://rosettacode.org/wiki/Factorial
다음과 같은 여러 방법이 있음
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5.1. using recursion

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5.2. using loop

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5.3. using memoization

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5.4. using gamma function

$x!=\mathrm{\Gamma}(x+1)$ 을 이용. 여기서 $\mathrm{\Gamma}$ 는 감마함수,gamma_function.



순열의 경우,
$_n\mathrm{P}_{n}=n!$

sub?
상승계승 rising_factorial
하강계승 falling_factorial
/// Ndict:상승계승 Google:rising.factorial Google:falling.factorial

rel.
순열,permutation = 하강계승? chk
완전순열,complete_permutation = 교란순열 = 교란 = Srch:derangement

소수계승 or 소계승?? primorial ... rel 소수,prime_number
curr see Namu:소수 계승
Google:primorial (prime + factorial)

계승은 자연수,natural_number ℕ0에서 정의.
계승을 더 (정의역,domain을 자연수→실수 확장,extension?? 일반화,generalization? chk) 일반적으로 확장시킨 개념은 감마함수,gamma_function를 참조.
참고로,
$n!=\mathrm{\Gamma}(n+1)$

계승의 다양한 확장
https://jjycjnmath.tistory.com/515
  • 감마함수
  • 준계승(subfactorial) - 완전순열 complete_permutation or 교란 derangement 관련, (curr see 순열,permutation) (derangement : see WpEn:Derangement)
  • 이중계승(double factorial) 및 다중계승(multiple factorial, multifactorial)
  • 소수계승(primorial)
  • 초계승(superfactorial)

계승의 또 다른 일반화:
Bhargava_factorial
{
Bhargava factorial
WpEn:Bhargava_factorial
"Bhargava factorial"
Ggl:Bhargava factorial
}


AKA 팩토리얼, 차례곱(북한말)

CHK 한자 이름 階乘에서 계는 단계/계단 할 때 그거?[1]

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  • [1] "계승이란 단계를 내려가듯이 숫자를 하나씩 줄여가면서 곱해가는 연산을 말한다." (통계가 빨라지는 수학력)