대략,
두 벡터의 '연관성'
correlation?이나 '유사성'
similarity과 관련지어 설명된다. //
유사도,similarity. 두 벡터가 얼마나 '닮았나'에 대한?
연산 시 두 벡터의 순서는 상관없다. (내적 연산은
교환법칙,commutativity 성립)
직교할 경우 관련이 없는 것으로, 숫자(내적 결과값)는 0으로, (
직교성,orthogonality)
반대 방향이면 음의 관련이 있는 것으로, 숫자는 음수로, ....
CLEANUP
에 대하여 실수
을 x와 y의
내적이라 하고
로 나타낸다.
벡터공간,vector_space V의
내적이란 이중선형함수 (bilinear_map ? rel. bilinearity)
〈 , 〉 V × V → ℝ
로서 다음 성질을 가지는 것을 뜻한다.
- v, w ∈ V ⇒ 〈v, w〉 = 〈w, v〉
- v ∈ V, v ≠ 0 ⇒ 〈v, v〉 > 0
(김홍종 미적1+ p385)
의
내적이란 두 벡터변수 함수
로서 다음 조건을 만족시키는 것.
1. (양정치)
이고,
일 필요충분조건은
2. (대칭성) 모든 벡터
에 대해
3. (쌍선형 1) 모든 벡터
에 대해 다음이 성립
4. (쌍선형 2) 모든 실수
에 대해 다음이 성립
즉,
내적은 양정치(positive definite)(kms: 양의 정부호)이고 쌍선형(bilinear)(kms: 이중선형의, 쌍선형의)인 대칭(symmetric) 함수.
대칭성,symmetry
(AnamLectureNotesVol1_20200210.pdf)
3. 코시-슈바르츠 부등식과의 관련 ¶
에 대해 다음이 성립한다.
단, 등호는
중 하나가 다른 것의 실수배이거나, 둘 중의 하나가
일때 성립한다.
이로부터,
의 0이 아닌 벡터
에 대하여
이므로,
를 만족하는 실수 θ가 단 하나 존재한다.
4. 벡터가 이루는 각(사이각)과의 관련 ¶
에 대해
인 θ를 x와 y가 이루는 각(angle)이라 한다. θ에 대해 나타내면,
See
각,angle
특히, x·y=0일 때 x와 y는 서로 직교한다고 한다.
적당한 실수 k에 대하여 x=ky인 경우에 x는 y와 평행하다고 한다.
i.e.
7. 벡터의 내적과 수직/평행 조건의 관계 ¶
영벡터가 아닌 두 벡터
에 대해
- 수직 조건 :
- 평행 조건 :
일반적으로, 두 벡터가 이루는 각의 크기가
일 때
8. 사영, 정사영과의 관계 ¶
(Fleisch p6 The Dot Product에서:)
The projection of
onto
:
multiplied by the length of
:
gives the dot product
9. 함수의 내적 ¶
두 함수
가 있다면
로 생각할 수 있고, 그리하여 그 내적은
sin과 cos의 내적은 0이 된다.
10. bra-ket notation과의 관계 ¶
bra벡터와 ket벡터의 곱은 내적과 같은데... 나중에 정확히. tbw
Compare:
Up:
{
내적은 두 벡터를 입력하여 하나의 실수를 출력하는 연산
외적은 두 벡터를 입력하여 다른 벡터를 출력하는 연산
(Ivan Savov p212)
}