발산정리,divergence_theorem

발산,divergence에 대한 정리인가? 벡터장,vector_field에서?

면적적분(면적분,surface_integral)과 체적적분을 연결?



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Sadiku 3.6 p79

AKA Gauss-Ostrogradsky 정리

발산정리는 폐곡면 S를 통해 나가는 벡터장 $\vec{A}$ 의 총 선속은 $\vec{A}$ 의 발산을 체적적분한 것과 같다는 것을 의미한다.

$\oint_S\vec{A}\cdot d\vec{S}=\int_v\nabla\cdot\vec{A}dv$

이하생략

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정길수

포장지로 포장했을 때
포장지를 통해 표면으로 나오는 양은
$\iint\vec{A}ds$
즉 면적분은 곡면에서 유출되는 양.
단위 입체에서 순 유출되는 양은
$\operatorname{div}\vec{A}$ 이므로
전체에서 유출되는 양은
$\iiint\operatorname{div}\vec{A}dv$

가우스의 발산정리는
$\iiint\operatorname{div}\vec{A}dv=\iint\vec{A}ds$

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ghebook

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Thomas

벡터장 $\vec{F}$ 의 성분함수가 연속인 1계 편도함수를 갖고,
$S$ 가 방향을 갖는 구분적으로 매끄러운 닫힌 곡면이라고 하자.
이 곡면의 외향 법선 벡터장 $\vec{n}$ 의 방향으로 곡면 $S$ 를 통과하는 벡터장 $\vec{F}$ 의 유출은
이 곡면이 둘러싸는 영역 $D$ 위에서 $\nabla\cdot\vec{F}$ 의 적분과 같다.
$\iint_S \vec{F}\cdot\vec{n}\,d\sigma = \iiint_D \nabla\cdot\vec{F}\,dV$
(위 식은 (외향 유출) = (발산적분))

(Thomas 13e ko chap14.8 발산정리와 통합 이론 - 정리 8)

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tmp

$\int_v \nabla\cdot\vec{A} dv=\oint_S \vec{A}\cdot d\vec{s}$

발산의 정리:
폐곡면 S를 통해 나가는 벡터장 A의 선속,flux은 (RHS, 면적분)
A의 발산을 체적적분,volume_integral한 것과 같다. (LHS, 체적적분)

즉 면적분과 체적적분을 변환할 수 있다?

//namu
어떤 벡터장,vector_field
$\mathbf{F}(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)=(f_1,\,f_2,\,\cdots,\,f_n)$
의 발산은
$\displaystyle \mathrm{div} \,\mathbf{F} = \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f_i}{\partial x_i}$
로 정의한다.