단어/표현
level curve 등위선, 등위곡선, 등고선(등고선은 대개 contour line으로 번역)
(정리) 방향도함수의 계산
함수
가 미분가능하고
이면
이다.
//
(위 정의의 식보다 기울기,gradient를 쓰는 이 식이 더 편리)
...
방향도함수의 최대와 최소
방향도함수의 최대값은
이고
와
의 방향이 같을 때 발생한다
방향도함수의 최소값은
이고
와
의 방향이 반대일 때 발생한다
(Zill 6e ko p625, 628)
공간상의 점
에서 벡터
방향으로의 함수
의
방향도함수(directional derivative)
또는
는 다음과 같이 정의된다. (그림 참조)
여기서
는
방향으로 직선
위를 움직이는 점이며,
는 점
사이의 거리.
만약
가
방향에 위치하면
이며,
가
방향에 위치하면
이고,
이면
이다.
가 연속인 편도함수를 갖는다고 가정하고,
연쇄법칙,chain_rule을 이용하면
(프라임은 s에 관한 도함수를 뜻함)
이 식은
와
의
내적,inner_product이 된다. 즉
따라서 0이 아닌 임의의 길이를 갖는 벡터
에 대한
방향도함수는
(Kreyszig 10e 번역판 9.7)
가 점
에서의 온도이고
가 점
에서의 온도라면
이며 점
사이의 온도차
는
그런데
이므로 다시 쓰면
각괄호 내의 내용은 벡터로서 gradient of T, T의
기울기,gradient이며
로 표기한다. 그리하여 식을 다시 쓰면
(3.73)
The symbol ∇ is called the del or gradient operator. (
델,del,나블라,nabla)
With
where
is the unit vector of
the
directional derivative of
along
is
We can find the difference
where
and
are the values of T at points
and
not necessarily infinitesimally close to one another, by integrating both sides of Eq (3.73). Thus,
(Ulaby 7e p154-155 eq3.75)
먼저
기울기,gradient기호 관례
For any unit vector
let
if it exists is called
directional derivative of
at
in the direction
그리하여, 방향도함수를 gradient로 나타내면
where
편미분은 x,y(등) 축 방향만으로의 기울기를 알 수 있다면
방향도함수는 임의의 u벡터 방향으로의 기울기를 알 수 있는
이다? CHK
2D 평면에서,
편미분,partial_derivative 가
축 방향 변화율,
가
축 방향 변화율(rate of change)이라면
방향도함수를 써서 임의의 방향에 대한 변화율을 생각할 수 있다.
기호 :
벡터
은 변화율을 구하고자 하는 그 방향에 평행. 그 방향과 x축 사이의 각도는
라고 하면
tmp definition:
여기서
src(https://www.youtube.com/watch?v=4RBkIJPG6Yo&list=PLSQl0a2vh4HC5feHa6Rc5c0wbRTx56nF7&index=22)
tmp; Compare:
기울기,gradient:
dir. deriv.:
z=f(x,y)에서
directions of maximum descent/ascent : -∇f, ∇f
max. rate of descent/ascent
from
src(https://youtu.be/3xVMVT-2_t4) 시작화면
from Dr. Bazett
src(https://www.youtube.com/watch?v=GJODOGq7cAY)
tmp from Vector Calculus
If
the
directional derivative of
at
along the vector
is given by
if this exists.
는 보통
단위벡터,unit_vector로 선택.
이변수함수
와 단위벡터(방향도함수에는 항상 단위벡터만 써야 한다. 이유는?)
에 대해
방향으로 함수값의 변화율은
이고
를
방향도함수라고 한다.
가 미분가능하면
방향으로의
방향도함수는
이다.
기울기벡터: 이변수함수
에 대해 벡터
를 기울기벡터(gradient vector)라 함.
의 점
에서
방향도함수의 최대값은 gradient의 크기이고,
의 방향은
와 같다.
일반화
directional derivative of
in the direction of
at
(O'Neil AEM 7e 앞부분 표기법 안내)
의 점
에서
방향으로의 변화율
을 측정하려면 다음을 계산.
그러면
는
에서
방향으로의
의
방향도함수이다.
(i.e.)
is the
directional derivative of Φ at P
0 in the direction of
u.
번역틀릴수있음. CHK
(O'Neil AEM 7e p357)