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''[[철학,philosophy]]([[수리논리,mathematical_logic]]학을 제외한 고전적 철학)에서 말하는 귀납법이랑은 분명 다르지만 [[수학,math]]에서 [[귀납,induction]]은 (거의?) 항상 이걸 일컬음?? i.e. 수학과 철학에서 단어 induction의 의미가 다름? via 수백+내생각. chk''도미노에 비유함.
여기선 교육적으로 좋지 않은 비유라 함 ... https://youtu.be/NLcv5VGGQXU (12 Math) induction은 확장 논리 보다는 축소 논리의 도구로 보는게 맞다고.
표현들:
[[귀납가설,induction_hypothesis]] { https://proofwiki.org/wiki/Definition:Induction_Hypothesis ... Google:induction+hypothesis [[가설,hypothesis]] 근데 이름이 가설이지만 사실 [[가정,assumption]]에 더 가까운? }
induction_step { https://proofwiki.org/wiki/Definition:Induction_Step ... Google:induction+step }
[[귀납가설,induction_hypothesis]]
{
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Induction_Hypothesis
... Google:induction+hypothesis
[[가설,hypothesis]]
근데 이름이 가설이지만 사실 [[가정,assumption]]에 더 가까운?
AKA inductive_hypothesis ? chk
}
[[induction_step]] induction_step
{
induction step
AKA inductive_step ? Ggl:"inductive step"
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Induction_Step
isa [[귀납,induction]] [[단계,step]]
} // induction step Ggl:"induction step"
위 둘은 ([[하노이의_탑,tower_of_Hanoi]]같은) recursive_algorithm(curr [[재귀,recursion]])에 나오는데 mklink.
[[transfinite_induction]] - w
{
pagename 아마도 초한귀납...
Cmp: [[transfinite_recursion]]
Cmp: [[finite_induction]] (?) tmp
{
principle of finite induction
https://planetmath.org/principleoffiniteinduction
https://proofwiki.org/wiki/Principle_of_Finite_Induction
... Ggl:"finite induction" Ggl:유한귀납 ?
}
tmp bmks ko
https://chocobear.tistory.com/63
[[WtEn:transfinite_induction]]
[[WpEn:Transfinite_induction]]
...
Ggl:"transfinite induction"
Ggl:"초한 귀납"
Ndict:"초한 귀납"
KmsE:"transfinite induction" { [[Date(2023-11-14T13:55:00)]] "transfinite induction = 초한귀납법" }
}
= 수학적 귀납법을 사용한 증명 방법 =
전제: 자연수 n에 관한 [[명제,proposition]] p(n)이 있다.
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[[추론,inference]][[귀납,induction]]
[[연역,deduction]]
[[abduction]]
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Twins:
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[[Namu:수학적%20귀납법]][[Libre:수학적_귀납법]]
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Induction
https://planetmath.org/principleoffiniteinductionWpEn:Mathematical_induction
WpKo:수학적_귀납법
[[WpEn:Mathematical_induction]]
[[WpKo:수학적_귀납법]]
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Mathematical_Induction
https://proofwiki.org/wiki/Principle_of_Mathematical_InductionUp: [[수학,math]]
일단 명칭은 이런데 이게 귀납법인가?
귀납가설,induction_hypothesis
{
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Induction_Hypothesis
... induction hypothesis
가설,hypothesis
근데 이름이 가설이지만 사실 가정,assumption에 더 가까운?
AKA inductive_hypothesis ? chk
}
철학,philosophy(수리논리,mathematical_logic학을 제외한 고전적 철학)에서 말하는 귀납법이랑은 분명 다르지만 수학,math에서 귀납,induction은 (거의?) 항상 이걸 일컬음?? i.e. 수학과 철학에서 단어 induction의 의미가 다름? via 수백+내생각. chk
도미노에 비유함.여기선 교육적으로 좋지 않은 비유라 함 ... https://youtu.be/NLcv5VGGQXU (12 Math) induction은 확장 논리 보다는 축소 논리의 도구로 보는게 맞다고.
표현들:귀납가설,induction_hypothesis
{
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Induction_Hypothesis
... induction hypothesis
가설,hypothesis
근데 이름이 가설이지만 사실 가정,assumption에 더 가까운?
AKA inductive_hypothesis ? chk
}
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Induction_Step
isa 귀납,induction 단계,step
} // induction step induction step
isa 귀납,induction 단계,step
} // induction step induction step
Cmp: finite_induction (?) tmp
{
{
principle of finite induction
https://planetmath.org/principleoffiniteinduction
https://proofwiki.org/wiki/Principle_of_Finite_Induction
... finite induction 유한귀납 ?
}https://planetmath.org/principleoffiniteinduction
https://proofwiki.org/wiki/Principle_of_Finite_Induction
... finite induction 유한귀납 ?
수학적 귀납법을 사용한 증명 방법 ¶
전제: 자연수 n에 관한 명제,proposition p(n)이 있다.
1. n=1일때 성립함을 보인다. (show)
2. n=k일때 성립한다고 가정한다. (assume)
3. n=k+1일때 성립함을 보인다. (show)
1. n=1일때 성립함을 보인다. (show)
2. n=k일때 성립한다고 가정한다. (assume)
3. n=k+1일때 성립함을 보인다. (show)
Principle of Mathematical Induction ¶
Let Sn be a 진술,statement about the positive integer n.
Suppose that
Suppose that
- S1 is true.
- Sk+1 is true whenever Sk is true.
(Stewart Calculus 7e, p.98)
Proof by induction ¶
수학적 귀납,induction법을 쓴 증명,proof법
- 성질(property)이 입력 크기(input size) 1인 경우에 성립함(holds)을 증명 (base_case)
- 성질이 입력 크기 에서 까지 성립한다고 가정
- 성질이 입력 크기 에서 성립함을 보임(show)
(김황남)
Uses ¶
수학적귀납법의 사용처, 사용 예
1. 증가수열,increasing_sequence임을 밝히기
Q. Show that for all
A. 일 때 참이다. 이기 때문.
이것이 일 때 참이라고 가정하면
We have deduced(연역,deduction) is true for Therefore the inequality(부등식,inequality) is true for all by induction.
Q. Show that for all
A. 일 때 참이다. 이기 때문.
이것이 일 때 참이라고 가정하면
2. 그리고 저 수열이 6 미만임을 밝히기(유계,bounded 유계수열,bounded_sequence) - 모든 에 대해
증가수열이므로 이것이 하계,lower_bound가 있음을 우리는 안다. 모든 에 대해, 이다.
일 때 이므로 주장(assertion)이 참이다.
일때도 참이라 가정(suppose)한다. 그러면
따라서 induction에 의해
증가수열이므로 이것이 하계,lower_bound가 있음을 우리는 안다. 모든 에 대해, 이다.
일 때 이므로 주장(assertion)이 참이다.
일때도 참이라 가정(suppose)한다. 그러면
(Stewart 9e p734)
한계, 약점, 단점 ¶
자연수에 대한 명제에만 적용 가능?
- 이 표현을 어디서 봤더라? 아무튼, 그니까... 이산적인 steps로 환원가능하고(reducible), 그 steps 사이에 명확한 점화관계(점화식,recurrence_relation) 가 있는, 이런 경우에만 사용가능. 이 생각이 맞는지? chk
other resources ¶
이것의 자연스러운 일반화: well-founded_induction - 작성중
Related:
Twins:
https://mathworld.wolfram.com/PrincipleofMathematicalInduction.html
수학백과: 수학적 귀납법
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Mathematical_induction
https://everything2.com/title/Mathematical Induction
수학적 귀납법
수학적_귀납법
https://mathworld.wolfram.com/PrincipleofMathematicalInduction.html
수학백과: 수학적 귀납법
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Mathematical_induction
https://everything2.com/title/Mathematical Induction
수학적 귀납법
수학적_귀납법
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Induction
https://planetmath.org/principleoffiniteinduction
Mathematical_induction
수학적_귀납법
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Mathematical_Induction
https://proofwiki.org/wiki/Principle_of_Mathematical_Induction
https://planetmath.org/principleoffiniteinduction
Mathematical_induction
수학적_귀납법
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Mathematical_Induction
https://proofwiki.org/wiki/Principle_of_Mathematical_Induction
Up: 수학,math