Jensen’s inequality, 젠센 부등식 (kms) 옌센 부등식 (wpko)
(대충) // 나중에 엄밀하게 rewrite
볼록함수에 대하여,
값들의 평균을 함수에 대입한 결과는
값들을 각각 함수에 대입하여 평균을 낸 것보다
작거나 같다는 것.
i.e.
값들을 (모두) 평균하여 함수에 대입한 결과는
값들을 (각각) 대입하여 평균을 낸 것보다
이하라는 것.
// 수학백과
볼록함수
가 만족하는 부등식은 다음과 같다.
여기서
(부등식의) 등호가
일 때만 성립하면
는 순볼록함수라고 한다.
이것을 일반화한 것이
옌센 부등식.
여기서
: 실수 구간에서 정의된 볼록함수
구간 내 임의의 점
0보다 크고 합이 1인 실수들 //
rel. partition_of_unity ?
가 순볼록함수이면 등호는
일 때만 성립한다.
즉 (Jensen 부등식)은 (볼록함수의 조건이 되는 부등식)을 일반화한 것? chk
확률변수의 Jensen inequality
/*from this slide(https://www.di.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid648405.pdf) p2*/
If
is a
볼록함수,convex_function and
is a
확률변수,random_variable, then
Moreover(게다가/더욱이), if
is strictly convex(순볼록), then equality implies that
with probability 1, i.e.
is a constant.