대충
양쪽 끝 두 점과 그 사이 점을 생각, 양쪽 끝 두 점의 weighted_average(할선,secant_line?)와 그 사이 x의 함수값 f(x)을 생각, 이 두 점의 y 좌표를 비교해서, "항상" 크거나(＞)/작거나(＜)/같음또는크거나(≥)/같음또는작거나(≤)/같거나(＝) 이걸로 convex function인지 concave function인지 그리고 strict인지 아닌지, 여부가 정해지는? (

Convex_function and 내 생각, chk)

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할선,secant_line

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From 수학백과: 옌센 부등식 ¶

실수 구간에서 정의된 함수 $f$ 가 ‘아래로 볼록’ 혹은 ‘볼록함수’라는 것은,
구간 내 임의의 두 점 $x_1,x_2$ 와 $0<t<1$ 인 임의의 실수 $t$ 에 대해 다음 부등식,inequality이 성립한다는 것.

$f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$

여기서 (부등식의) 등호가 $x_1=x_2$ 일 때만 성립하면 순볼록함수라고 한다.

(옌센_부등식,Jensen_inequality 설명에 앞선 내용)

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tmp cleanup ¶

/*from this slide p2*/
{
A function is said to be convex(볼록한) over an interval $(a,b)$
if for every $x_1,x_2\in(a,b)$ and $0\le\lambda\le 1,$

$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$

A function $f$ is said to be strictly convex(순볼록) if equality holds only if $\lambda=0\textrm{ or }\lambda=1.$

(생각: 선형성,linearity 둘 중의 하나와 식의 모양이 비슷하다. 다만 등호가 아니고 부등호다.)

Thm:
함수 $f$ 가 모든 점에서

음이 아닌(non-negative) 이계도함수를 가지면, 함수는 볼록(convex).
양인(positive) 이계도함수를 가지면, 함수는 순볼록(strictly convex).

}

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Excerpt: 김홍종 ¶

구간,interval $I\subset\mathbb{R}$ 에서 정의된 실가(real valued) 함수 $f$ 가 볼록함수라는 것은
구간 $I$ 의 임의의 두 점 $a,b$ 에 대하여 구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f$ 의 그래프가 이 그래프의 양끝점을 이은 선분,line_segment보다 아래쪽에 있다는 것을 뜻한다.
다시 표현하면,
$f:I\to\mathbb{R}$ 이 볼록함수라는 것은 구간의 임의의 두 점 $a,b$ 와 임의의 $t\in[0,1]$ 에 대하여