임계점,critical_point

임계점,critical_point (rev. 1.22)


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1. 미적분에서

정의: 다음 둘 중 하나.
  • 함수가 미분가능하지 않은 점 또는
  • 미분가능하고 미분계수가 0인 점
i.e.
실변수 함수 $f(x)$ 에 대해 다음 둘 중 하나를 만족하는 점 $a$ 또는 $(a,f(a))$ 가 임계점.
  • $\not\exists f'(a)$
  • $f'(a)=0$

Example: 수학백과 참조.
(미분가능하지 않은 점)
또는
(미분가능하고 미분계수가 0인 점).
$f'(c)$ 가 존재하지 않거나 $f'(c)=0$ 인 점 $x=c$ 를 임계점이라고 한다.
Def.
A critical number of a function $f$ is a number $c$ in the domain of $f$ such that either $f'(c)=0$ or $f'(c)$ does not exist. (Stewart)
Critical points are the points where a function's derivative is 0 or not defined.[1]
$\exists f(c)$ 일 때, 다음 둘 중 하나가 참이면 함수 $f$ 에서 $x=c$ 는 $f$ 의 임계점이다.
  • $f'(c)=0$
  • $\not\exists f'(c)$
(https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/CriticalPoints.aspx)
정의. 함수 $f$ 의 정의역에 속하는 내점,interior_point 중에서 미분계수,differential_coefficient가 0이거나 정의되지 않는 점을 $f$ 의 임계점이라고 한다.

함수가 극값,extremum을 가질 수 있는 정의역의 점은 임계점과 끝점 뿐이다.

그러나 임계점에서 국소 극값을 가지지 않을 수 있다. (예: $y=x^3$ 과 $y=x^{1/3}$ 은 원점이 임계점(o) 국소극값(x). 이것은 변곡점,inflection_point이다.) (Thomas 13e ko 3.1 p165)
극대값, 극소값과 관련. See 극값,extremum.

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2. 임계점 정리


임계점이 모두 극점인 것은 아니다.
임계점정리
$f(x)$ 가 $x=a$ 에서 극대거나 극소이면, $a$ 는 임계점이다.

다변수함수의 임계점 및 다변수함수의 임계점정리 :

// 극점,extreme_point과..
함수가 극값을 갖는 점은 임계점.
임계점이 모두 극점인 것은 아님.

즉 극점집합보다 임계점집합이 더 넓다(크다).
임계점집합 ⊇ 극점집합

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3. Kreyszig 4.3에서

임계점 근방에서의 궤적,trajectory의 형태에 따라 다섯 가지 유형의 임계점이 존재한다.
  • 비고유마디점(improper node)
  • 고유마디점(proper node)
  • 안장점(saddle point)
  • 중심(center)
  • 나선점(spiral point)

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4. 안장점 saddle point


어떤 점을 지나는 두 직선이 존재하는데, 한 직선을 따라 극소값이고, 다른 한 직선을 따라서 극대값이면, 그 점? CHK ([https]src)

"극대점도 극소점도 아닌 임계점을 안장점(saddle point)이라 부른다." chk (src Namu:다변수함수#s-6; see also Namu:다변수함수#s-6.4)

tmp see also Namu:쌍곡포물면

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5. TBW


임계점이 반드시 극점은 아님. chk
극점은 임계점임. (임계점 정리)

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6. 화학/물리학의 임계점

[https]물리학백과: 임계점
"열역학,thermodynamics에서 상평형이 정의될 수 있는 한계점"

Twins:
[https]수학백과: 임계점
https://mathworld.wolfram.com/CriticalPoint.html
https://everything2.com/title/critical point
WpEn:Critical_point_(mathematics)
WpKo:임계점_(수학)
"임계점(臨界點, 영어: critical point) 또는 정류점(定流點) 또는 정상점(定常點)은 함수의 도함수가 0이 되는 점 ... 극대점이나 극소점{curr see 극값,extremum}, 또는 안장점,saddle_point으로 분류"
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Critical_point


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