적분판정법,integral_test


chk: 일단 전제조건이
수열은 양항수열, 따라서 급수는 양항급수,
함수는 연속함수 and 감소함수 ...
그래서 이상적분,improper_integral 발산 여부에 따라 수열 말고 급수의 발산여부를 판단하는 방법??
급수의 수렴/발산 여부와 이상적분의 수렴/발산 여부가 동치(서로 필요충분조건)
i.e. 급수가 수렴 ⇔ 적분이 수렴, 급수가 발산 ⇔ 적분이 발산

함수 $f$ 는 $[1,\infty)$ 에서 양이고, 연속이고, 감소하는 함수.
수열 $a_n=f(n).$
그러면 (급수 $\textstyle\sum a_n$ 이 수렴) ⇔ (이상적분 $\textstyle\int_1^{\infty}f(x)dx$ 가 수렴)
다시 말해,
  • 만약 $\int\nolimits_1^{\infty}f(x)dx$ 가 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 은 수렴.
  • 만약 $\int\nolimits_1^{\infty}f(x)dx$ 가 발산하면 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 은 발산.

시작이 항상 $n=1$ 이 아니어도 된다.
$f$ 가 항상 감소하지 않아도 되고, 중요한 것은 $f$ 가 결국엔(ultimately) 감소해야 한다는 것이다.

(Stewart 9e p753)

정리(적분판정법)

$f$ 가 $[1,\infty)$ 에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수라 하고 $a_n=f(n)$ 이라 하자. 이 때

$\bullet\;\;\int\nolimits_1^{\infty}f(x)dx \;\text{converges} \;\Rightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty}a_n \;\text{converges}$

$\bullet\;\;\int\nolimits_1^{\infty}f(x)dx \;\text{diverges} \;\Rightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty}a_n \;\text{diverges}$

(차영준)

(적분판정법) 연속함수 $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}$ 가 감소함수이고 항상 $f(x)>0$ 일 때, 급수 $\textstyle\sum f(n)$ 이 수렴할 필요충분조건은 적분
$\int_1^{\infty}f(x)dx := \lim_{b\to\infty}\int_1^b f(x)dx$
가 수렴하는 것이다.

증명. 부등식
$f(n+1) \le \int_n^{n+1} f(x)dx \le f(n)$
을 $n=1$ 부터 일반항까지 더하면 부등식
$f(2)+\cdots+f(n+1) \le \int_1^{n+1} f(x)dx \le f(1)+\cdots+f(n)$
을 얻는다. 이제 비교판정법,comparison_test에서 원하는 것을 얻는다.
(각주) 이 때
$\sum_{n\ge 2}f(n)\le\int_1^{\infty}f(x)dx\le\sum_{n\ge 1}f(n)\le f(1)+\int_1^{\infty}f(x)dx$
이다.

(김홍종 미적분학 1+ p33)

$f(n)$ 이 양항급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 의 제 $n$ 항을 표시하고
$x\ge N\,(N\in\mathbb{Z}^+)$ 인 모든 $x$ 에 대하여
$f$ 가 연속이고 감소함수이면 (연속함수,continuous_function, 감소함수,decreasing_function)
둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다. // 수렴,convergence 발산,divergence

https://i.imgur.com/bWDNrcHl.png

(그림 1)에서
$\int_1^{n+1} f(x)dx \le a_1+\cdots+a_n$
(그림 2)에서
$a_2+\cdots+a_n \le \int_1^n f(x)dx$
양변에 $a_1$ 을 더하면
$a_1+a_2+\cdots+a_n \le a_1+\int_1^n f(x)dx$

위 둘에서
$\int_1^{n+1}f(x)dx \le a_1+a_2+\cdots+a_n \le a_1+\int_1^n f(x)dx$

(오른쪽 부등식)
$\int_1^{\infty}f(x)dx$ 이 유한이면 우변이 유한이고 따라서 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 도 유한이다.
(왼쪽 부등식)
$\int_1^{\infty}f(x)dx$ 이 무한이면 좌변이 무한이고 따라서 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 도 무한이다.

// 이하 CHK
{
.....양항급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 이 수렴하기 위한 필요충분조건: 이상적분 $\int_1^{\infty}f(x)dx$ 가 수렴....

이춘호 공업수학 p91
$\int^{\infty}f(x)dx=$ (lower limit은 converge 여부에 영향이 없다)
finite: $\sum_{n}a_n$ converges.
infinite: $\sum_{n}a_n$ diverges.
$f:[1,\infty)$ 에서 연속인 감소함수, $f\ge 0$ , $a_n=f(n)$ 이면
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n \textrm{ converges }\Leftrightarrow\;\int_{1}^{\infty}f(x)dx \textrm{ converges}$

$f$ 가 $[1,\infty)$ 에서 연속이고(continuous), 양이고(positive), 감소하는(decreasing) 함수이고, $a_n=f(n)$ 이면
$1.\; \int_1^{\infty}f(x)dx \text{ is conv. }\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ is conv.}$
$2.\; \int_1^{\infty}f(x)dx \text{ is div. }\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ is div.}$

큰 수 N에 대해 정의역이 $[N,\infty)$ 일 때도 integral test를 적용할 수 있다고 한다.
}

[edit]

수학백과

$\{ a_n \}$ 은 양항수열이고,
$N$ 은 자연수이고,
$f:[N,\infty)\to\mathbb{R}$ 은 연속함수,continuous_function이며 감소함수이고,
$n\ge N$ 일 때 $f(n)=a_n$ 이면 다음이 성립한다.
$\int_N^{\infty} f(x)dx$ 의 수렴성과, $\sum_{k=N}^{\infty}a_k = \sum_{k=N}^{\infty}f(k)$ 의 수렴성은 동치이다.