R(저항기,resistor), C(축전기,capacitor)로 이루어짐

이하 CHK and 그래프추가

1.1. 전하량 q
1.2. 전류 I

2. 방전 discharge

3. 시간상수 RC 관련

4. 축전기의 충전

5. 축전기의 방전

6. from 황종승 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1299691 직류회로(2)

7. Zbar p. 404

8. Notes

[edit]

1. 충전 charging ¶

[edit]

1.1. 전하량 q ¶

$E-\frac{q}{C}-IR=0$
$\frac{dq}{dt}=\frac{E}{R}-\frac{q}{RC}=-\frac{q-CE}{RC}$
$\frac{dq}{q-CE}=-\frac{dt}{RC}$
$\int_0^q \frac{dq}{q-CE}=-\frac1{RC}\int_0^t dt$

$q-CE=Q, dq=dQ$
$q\to 0, Q\to -CE; q\to q, Q=q-CE$

$\int_{-CE}^{q-CE}\frac{dQ}{Q}=-\frac1{RC}\int_0^t dt$
$\left.\ln Q\right|_{-CE}^{q-CE}=\ln\left( \frac{q-CE}{-CE} \right)=-\frac{t}{RC}$

ln을 없애기 위해 exp를 취하면

$\frac{q-CE}{-CE}=e^{-t/RC}$
$q=CE(1-e^{-t/RC})$

[edit]

1.2. 전류 I ¶

$I(t)=\frac{dq}{dt}=CE\frac1{RC}e^{-t/RC}$
$I(t)=\frac{E}{R}e^{-t/RC}$
$I(t)=I_ie^{-t/RC}$

graph:

[edit]

2. 방전 discharge ¶

$-\frac{q}{C}-IR=0$

$I=\frac{dq}{dt}$ 이므로

$-\frac{q}{C}-\frac{dq}{dt}R=0$
$\frac{dq}{q}=-\frac{dt}{RC}$
$\int\nolimits_Q^q\frac{dq}{q}=-\int\nolimits_0^t \frac{dt}{RC}$
$\ln \frac{q}{Q}=-\frac{t}{RC}$
$q(t)=Qe^{-t/RC},\; Q=CE$

$I(t)=\frac{dq}{dt}=-\frac{Q}{RC}e^{-t/RC}=I_i e^{-t/RC}, \; I_i=\frac{q}{R}$

[edit]

3. 시간상수 RC 관련 ¶

충전될때는 t=RC일 때 (시간이 RC만큼 되면)

전하 q는 전체 CE중에서 0.632CE만큼 참.
전류 I는 전체 E/R 중에서 0.368만큼으로 줄어듦.

방전될때는 t=RC일 때

전하 q는 전체 CE중에서 0.368CE만큼 남음. Q=Qe^-1=0.368Q
전류 I는 처음 I_i=E/R 중에서 0.368(E/R)만큼으로 줄어듦. I=I_ie^-1=0.368I_i

see 시간상수,time_constant

이상 from

황종승 직류회로(2)

[edit]

4. 축전기의 충전 ¶

저항의 전위강하폭은 $V=iR$
축전기의 전위강하폭은 $q=CV$ 에서 $V=\frac{q}{C}$
여기에 키르히호프법칙을 적용하면

$\mathcal{E}-iR-\frac{q}{C}=0$

i.e.

$\mathcal{E}-R\frac{dq}{dt}-\frac{q}{C}=0$ 이것을 충전방정식이라 한다.

이걸 풀면

$q=C\mathcal{E}(1-e^{-t/RC})$
$i=\frac{dq}{dt}=\frac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/RC}$
$V_c=\frac{q}{C}=\mathcal{E}(1-e^{-t/RC})$

이때 $RC=\tau$ 로 하기도 .. 시간상수,time_constant

[edit]

5. 축전기의 방전 ¶

$iR+\frac{q}{C}=0$
$R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0$

풀면

$q=q_0 e^{-t/\tau}$
$i=-\frac{q_0}{RC}e^{-t/\tau}$

축전기,capacitor 양 끝의 전위,electric_potential 차의 t에 대한 변화:

$V(t)=\mathcal{E}_0\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)$
처음엔 급격히 증가하다가 점점 증가폭이 감소하며 어떤 값에 수렴하는 그래프

흐르는 전류,electric_current의 t에 대한 변화:

$I(t)=\frac{\mathcal{E}_0}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$
처음엔 급격히 감소하다가 점점 감소폭이 줄며 0으로 수렴하는 그래프

TOCLEANUP; from https://www.youtube.com/watch?v=RycBSevPQQ4&index=27&list=PL7EXGbyk8P69GIrXZcp3TfUDBWde_QQn-
{
충전 시, when charging:

$q=q_0\left(1-e^{-t/(RC)}\right)$

갈수록 q₀에 수렴

$V=V_0\left(1-e^{-t/(RC)}\right)$

갈수록 V₀에 수렴

방전 시, when discharging:

$q=q_0e^{-t/(RC)}$

갈수록 0에 수렴

$V=V_0e^{-t/(RC)}$

갈수록 0에 수렴

시간상수,time_constant of RC circuit:

$\tau=RC$

이게 모임?

real life example: 카메라의 flash

}

[edit]

6. from 황종승 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1299691 직류회로(2) ¶

이런 RC회로에서,
충전되는 상황을 가정하면,

$+\mathcal{E}-\frac{q}{C}-IR=0$

이것을 I에 대해 정리하면

$IR=\mathcal{E}-\frac{q}{C}$

R로 나누어

$I=\frac{\mathcal{E}}{R}-\frac{q}{RC}$
$\frac{dq}{dt}=\frac{\mathcal{E}}{R}-\frac{q}{RC}=-\frac{q-C\mathcal{E}}{RC}$
$\frac{dq}{q-C\mathcal{E}}=-\frac{dt}{RC}$
$\int_{0}^{q}\frac{dq}{q-C\mathcal{E}}=-\frac1{RC}\int_0^{t}dt$

$q-C\mathcal{E}=Q$ 로 치환하면 $dq=dQ$ 이고

$q\to 0,\;Q\to -C\mathcal{E}$
$q\to q,\;Q\to q-C\mathcal{E}$ 이므로,

$\int_{-C\mathcal{E}}^{q-C\mathcal{E}}\frac{dQ}{Q}=-\frac1{RC}\int_0^{t}dt$
$\left.\ln Q\right|_{-C\mathcal{E}}^{q-C\mathcal{E}}=\ln\left(\frac{Q-C\mathcal{E}}{-C\mathcal{E}}\right)=-\frac{t}{RC}$
$\frac{q-C\mathcal{E}}{-C\mathcal{E}}=e^{-t/RC}$
$q=C\mathcal{E}\left(1-e^{-t/RC}\right)$

시간에 따른 전류는,