극좌표계,polar_coordinate_system

일단은 평면 극좌표계를 다룸


평면,plane 위 점,point의 위치,position를,
으로 정하는 좌표계,coordinate_system.[1]

극좌표계 (r,θ)와 직교좌표계,rectangular_coordinate_system (x,y)의 관계 :
$\left.x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\right}\leftrightarrow\left{r^2=x^2+y^2\\ \tan\theta=\frac{y}{x}\right.$

극방정식,polar_equation
- 심장형, 꽃잎형, ...

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미소

극좌표계 $(r,\theta)$ 에서,
지름 방향의 미소 변화는 $dr$ 이고, 지름이 $r$ 일 때 중심각 변화 $d\theta$ 인 호의 길이는 $rd\theta$ 이므로
미소면적은
$dA=rdrd\theta$

이것을 확장하면 원통좌표계 $(\rho,\phi,z)$ 에선
지름 방향으로 $d\rho$ 이고, 지름이 $\rho$ 일 때 중심각 변화 $d\phi$ 인 호의 길이는 $\rho d\phi$ 이므로
xy평면 위의 미소면적은
$dA=\rho d\rho d\phi$
따라서 미소부피는 여기에 높이 방향의 미소 변화량 $dz$ 를 곱한
$dV=\rho d\rho d\phi dz$

참고로 원통 겉면의 면적소는 $d\rho$ 를 빼면 되므로
$dA'=\rho d\phi dz$

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극좌표계에서 원의 표현

식
$R=a\sin\phi \;\; (0\le\phi\le\pi)$
에
$R=\sqrt{x^2+y^2},\; \phi=\tan^{-1}\frac{y}{x}$
를 대입하고 정돈하면
$x^2+\left(y-\frac{a}{2}\right)^2=\left({a\over 2}\right)^2$
가 된다. 즉 처음 식은 중심이 $(0,a/2)$ 이고 반지름이 $a/2$ 인 원,circle.

[https]src 윗부분
같은 페이지에 타원,ellipse도 있는데 복잡해서 안적음

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이하 내용 와선 or spiral 으로 분리?

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아르키메데스 와선

극좌표계에서 상수 $k$ 에 대하여 식
$r=k\theta$
로 나타내는 곡선을 아르키메데스 와선(spiral)이라 한다. (김홍종)
... Google:아르키메데스 와선

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쌍곡 와선

식
$r=\frac{k}{\theta}$
로 표현. (김홍종)

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로그 와선 logarithmic spiral

식
$r=r_0 e^{k\theta}$
로 표현. 여기서 $r_0$ 와 $k$ 는 0이 아닌 상수.
로그 와선은 한바퀴씩 돌 때마다 원점에서의 거리,distance가 일정한 비율로 나타난다. 또 원점을 지나는 직선과 와선의 각 점에서의 접선,tangent_line은 항상 일정한 각,angle을 이루고 있어서, 이 곡선을 등각 와선(equi-angular spiral)이라고도 부른다.
(김홍종)

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gnuplot

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