시그마대수,sigma-algebra

AKA σ-algebra, σ-field, 시그마-대수, 시그마-체

측도론,measure_theory에서 매우 기초적이고 중요한 개념임. rel 측도,measure 가측집합,measurable_set( RR 가측집합,measurable_set )



Up: 대수학,algebra > 보렐_대수,Borel_algebra and 시그마대수,sigma-algebra ?
(Borel_sigma-algebra를 줄여 Borel_algebra 간단히 부르기도 함. - freshrimp) - QQQ 동의어인지 chk
WpEn:Borel_set "known as the Borel algebra or Borel σ-algebra." 보렐대수는 항상 시그마대수,sigma-algebra? chk

Google:borel sigma algebra
}
cylindrical_sigma-algebra w
{
cylindrical σ-algebra
AKA
product σ-algebra

MKL
cylinder_set w
{
cylinder set
원기둥집합 ?

Sub:
cylinder_set_measure w
{
cylinder set measure

KmsE:cylinder set measure
측도,measure
}

KmsE:cylinder set 보면 통집합 원주집합 원기둥집합 등 통일 안 되어 있음. wk는 WpKo:기둥_집합 ... 이대로라면 원통집합 도 가능?
... Ggl:cylinder set
}

WpEn:Cylindrical_σ-algebra
...Ggl:cylindrical σ-algebra Ggl:product σ-algebra
}

// 수백


//mw

집합,set $X$ 가 있으면, σ-algebra $F$ 는 $X$ 의 부분집합,subsets들의 nonempty collection(하나 이상의 모음?) 이다. 다음 세 조건을 만족하는.
// F가 set이란 말이 없고 collection이라 해서 집합기호를 쓰지 않음. 나중에 정확히 reread
  1. $X$ is in $F$
  2. If $A$ is in $F,$ then $A^c$ is in $F$
  3. 만약 $A_n$ 이 $F$ 의 원소,element들의 수열,sequence이면, $A_n$ 의 합집합,union is in $F$
만약 $S$ 가 $X$ 의 부분집합들의 any collection이라면, $S$ 를 포함한 σ-algebra를 언제나 찾을 수 있다 - 바로 $X$ 의 멱집합,power_set.
$X$ 를 포함한 모든 σ-algebra들의 교집합,intersection을 take하면, we obtain the smallest such σ-algebra. //일단 번역 않고 놔둠.
'Smallest σ-algebra containing S'를, 'σ-algebra generated by S'라고 부른다.

mklink
집합,set 체,field랑 관련이 있는듯. 이름조차도 AKA sigma-field
특히 Borel_field, Borel_set - curr see 체,field#s-3


AKA Boolean σ-algebra. 불_대수,Boolean_algebra에서 특정 조건을 만족하는.

// (아주 대충) 네가지임. 정확히 rewrite.
  • 자기자신을 포함
  • closed under complement
  • closed under union
  • closed under intersection

tmp from http://contents2.kocw.or.kr/KOCW/html/2017/kumoh/limwansu091/1/default.htm 5:30
{
Field (ℱ) : a set of subsets of Ω

ℱ is assumed to be a σ-algebra, meaning it satisfies the following axioms
  • Ω ∈ ℱ
  • If A ∈ ℱ then AC ∈ ℱ
  • If A, B ∈ ℱ then A ∪ B ∈ ℱ. Also, if A1, A2, … is a sequence of elements in ℱ then
    $\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in\mathcal{F}\text{ and }\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i\in\mathcal{F}$
}



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1. Sub: Borel sigma algebra


[https]수학백과: 보렐 집합 # 보렐 대수
{
.... "이때 열린 집합과 닫힌 집합을 모두 포함하는 가장 작은 시그마-대수를 보렐 대수라고 한다."

(def.) "보렐_대수,Borel_algebra의 원소를 보렐_집합,Borel_set이라고 한다."
}

보렐_대수,Borel_algebra : 열린집합,open_set과 닫힌집합,closed_set을 모두 포함하는 가장 작은 시그마대수,sigma-algebra
보렐_대수 Borel_algebra = 보렐_시그마대수 Borel_sigma-algebra 인듯.....? chk

// tmp from [https]수학백과: 시그마 대수 section 3.
{
"위상공간,topological_space에서 모든 열린집합,open_set을 포함하는 가장 작은 시그마 대수를 보렐 시그마 대수(Borel σ-algebra)라고 한다. 보렐 시그마 대수의 원소를 보렐_집합,Borel_set이라고 한다."
}

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2. (so TODO) MKL: Borel_set Borel_algebra etc


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3. 이름의 sigma에 대한 설명: via WpKo:모형_이론#보편_대수학 at 2023-10-13

{
분야는
(모형이론 모델이론 모형론 모델론 model_theory WtEn:model_theory ) > ( 보편대수 보편대수학 universal_algebra WpKo:보편_대수학 WtEn:universal_algebra WpSp:Universal_algebra x(2023-10에 없음, 2007년 지워짐) WpEn:Universal_algebra )관련임.

"보편 대수학의 주요 개념은 부호수(signature) σ와 그것에 의해 규정되는 구조인 σ-대수(σ-algebra)이다. 예시는...."


즉 structure에는 signature가 붙을 수 있고 그 중 하나가 'sigma'? 아님 혹시 sigma가 signature의 앞글자를 딴 건지? CHK


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4. tmp bmks ko

https://jrc-park.tistory.com/290?category=487573
집합 X에 대한 σ-algebra는, X의 부분집합들의 collection Σ이며 다음 네 조건을 만족하는 것.
https://elecs.tistory.com/253
https://hanmaths.tistory.com/36 - 정의
https://hanmaths.tistory.com/40 - 필요충분조건
https://hanmaths.tistory.com/42 - 예
Namu:측도#s-2.1 - 측도,measure를 설명하기 직전에 정의함.
https://elementary-physics.tistory.com/123?category=860181 - 마지막부분 Advanced Topics
https://blog.naver.com/mykepzzang/222197904497 - σ-(시그마-)로 이름붙여진 게 무슨 뜻인지 설명

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5. Bmks ko

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6. Bmks en