극한의 엄밀한 정의: ε-δ를 이용한
Formal definition of limits
Formal definition of limits
아님 특정 점으로 수렴,convergence하는 극한은 ε-δ, 무한대로 가는(발산,divergence?) 극한 관련되면 ε-N?
아주작은양수(실수) δ, 아주큰자연수 N 같은데...?
아주작은양수(실수) δ, 아주큰자연수 N 같은데...?
1. Links ¶
https://blog.naver.com/dydrogud22/110188882533
https://blog.naver.com/dydrogud22/110188927079
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Twins:
엡실론-델타_논법
미적분학#극한의_정의
https://en.wikipedia.org/wiki/(%CE%B5,_%CE%B4)-definition_of_limit redir to Limit_of_a_function#Functions_of_a_single_variable
엡실론-델타_논법
미적분학#극한의_정의
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나올 수 밖에 없는 타이밍. 입실론 델타의 정석 - 수학 갤러리
http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=48306
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http://yeogue.tistory.com/300
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2. 사전 지식 ¶
이것을 이해하기 위해 먼저 알아두면 좋은 지식은 a=b의 의미가 와 같다는 것이다. http://tendowork.tistory.com/1에서 잘 설명하고 있다.
a = b ⇔ ∀ε > 0, |a-b| < ε
a=b ⇔ ∀ε>0, |a-b|<ε
ex.
ex2. 참고로 임을 미리 상기.
ex3.
그런데 이므로
그런데 이므로
3. 정의 ¶
limx→af(x) = L
임의의 실수 ϵ>0에 대해, 적당한 실수 δ>0 가 존재해서, 0<∣x−a∣<δ ⇒ ∣f(x)−L∣<ϵ 이다
임의의 실수 ϵ>0에 대해, 적당한 실수 δ>0 가 존재해서, 0<∣x−a∣<δ ⇒ ∣f(x)−L∣<ϵ 이다
임의의 실수 에 대해, 적당한 실수 가 존재해서, 이다
δ는 ε에 영향을 받는 변수이다. δ = δ(ε)
f(a)가 반드시 정의될 필요는 없다. 따라서 0<|x-a|<δ 의 0< 부분이 있는 것.
먼저
: 상수
: 매우 작은 양수
: 변수
: 함수
* * *: 매우 작은 양수
: 변수
: 함수
"g(x)에서 x가 a에 가까이 가면, g(x)는 L에 가까이 간다"를 식으로 표현하면
위 명제가 성립할 필요충분조건은
하지만 일 가능성은 배제하지 않는다.
실제로 이렇게 가정하면, 즉 가 상수함수라면,
이므로 은 항상 성립한다.
그럼 임의의 함수 에 대해 성립함을 보이려면 무엇을 해야 하는가?
에 대해 어떤 수 가 존재하여 다음을 만족한다.
이면 이다.
x가 a로 가까이 가지만 결코 a와 같을 수 없다.이면 이다.
하지만 일 가능성은 배제하지 않는다.
실제로 이렇게 가정하면, 즉 가 상수함수라면,
그럼 임의의 함수 에 대해 성립함을 보이려면 무엇을 해야 하는가?
정의에 따라, 주어진 에 대해 다음 명제를 만족하는 어떤 수 를 만들어야 할 것이다.
ε>0은 미리 주어져 있고
δ>0 값은 만들어 내야만 한다.
이면 이다.
그러므로,ε>0은 미리 주어져 있고
δ>0 값은 만들어 내야만 한다.
x가 a로 충분히 가까이 (δ보다 작은 거리로) 갈 때, (a가 되지는 않음)
g(x)도 얼마든지 L에 가까이 (ε보다 작은 거리로) 갈 수 있음을 보여야만 한다.
g(x)도 얼마든지 L에 가까이 (ε보다 작은 거리로) 갈 수 있음을 보여야만 한다.
L에 가까이 간다는 것 | ε>0에 의해 측정됨 | ε은 누군가로부터 주어짐 |
a에 가까이 간다는 것 | δ>0에 의해 측정됨 | δ는 우리가 만드는 것 |
(우리가 발견해야 할 값인) δ는
(우리에게 주어진 값인) ε에 따라 다른 값을 취할 수 있음을 이제는 예상할 수 있다.
"매우 작은 값인 ε"이, 일반적으로
"매우 작은 값인 δ"를 필요로 함을 예상할 수 있다.
"매우 작은 값인 δ"를 필요로 함을 예상할 수 있다.
만일 위 (극한의) 정의를 성립하는 단 하나의 δ>0 이 존재한다면,
이 정의를 성립하도록 하는 무수히 많은 값들이 존재한다.
이 정의를 성립하도록 하는 무수히 많은 값들이 존재한다.
예를 들어 (위 극한의 정의를 만족하는) δ를 발견했다고 가정하자.
그리고 δ1을 δ보다 작은 임의의 양수라고 하자. 다시 말해
그러므로 이다. 따라서 δ1도 정의를 만족시킨다.
다시 말하면, δ는 선택의 폭이 넓다.
(예를 들어 δ1=δ/2 또는 δ/3 등등)
그리고 δ1을 δ보다 작은 임의의 양수라고 하자. 다시 말해
0 < δ1 < δ
그러면 일 때 이다.그러므로 이다. 따라서 δ1도 정의를 만족시킨다.
다시 말하면, δ는 선택의 폭이 넓다.
(예를 들어 δ1=δ/2 또는 δ/3 등등)
* * *
예: 다음 식 증명.
정의에 따라, 주어진 에 대해 다음을 만족하는 가 있음을 증명하면 됨.
이면 이다.
(생각보다 간단하지 않고 길어져서 생략. 절대부등식과 min함수 필요.)// from 10개의 특강...에서 요약
4. 비유 ¶
내친구가 예전에 했던 적절한 비유인데 이게 존나 그럴싸함
입델을 하나의 게임처럼 생각하는거지
갑과 을이 게임을 하며 각각의 역할은 다음과 같아
갑 : 을에게 양수 ε(입실론) 값을 아무렇게나 던져줌
을 : 갑에게 받은 ε값을 가지고 다음 명제 만족하는 δ값을 아무거나 하나 찾아내서 갑에게 돌려줌
다음 명제 : 0<|x-a|<δ 이면 |f(x)-L|<ε이다
을 : 갑에게 받은 ε값을 가지고 다음 명제 만족하는 δ값을 아무거나 하나 찾아내서 갑에게 돌려줌
다음 명제 : 0<|x-a|<δ 이면 |f(x)-L|<ε이다
만약 을이 대답할 수 없는 ε값을 갑이 던져주면 갑의승리
갑이 무슨짓을해도 을이 수비할수있으면 을의승리
갑이 무슨짓을해도 을이 수비할수있으면 을의승리
갑이 이기면 x->a에서 f(x)의 극한은 존재하지 않음
을이 이기면 x->a에서 f(x)의 극한은 L
을이 이기면 x->a에서 f(x)의 극한은 L
물론 비유니까, 뭐 갑이 모든 양의실수를 다 말할 수 없네 어쩌네 하는 태클은 사양
8. 다변수함수의 극한 ¶
일변수함수의 극한
such that
이변수함수의 극한
의 정의는
such that
즉 작은 원 안에 들어가야 함
3변수함수의 극한은 작은 구 안에 들어가야 할 것이다? CHK
Ex.
x축을 따라서 원점으로 갈 때 (y를 0으로 고정)
y축을 따라서 원점으로 갈 때 (x를 0으로 고정)
따라서 극한은 존재하지 않음
10. 일반수학2 단국대학교 김도형 ¶
1강
⇔
∀ε>0, ∃N>0 s.t. ⇔
∀n>0, ∃N>0 such that 함수 f가 L에서 연속
such that
such that
https://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaDefinition.html
https://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaProof.html
엡실론-델타_논법
https://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaProof.html
엡실론-델타_논법