// from 김중헌 https://www.youtube.com/watch?v=NwGOoisW7HI Discrete Random Variables
{
먼저 확률변수란?
확률변수,random_variable $X$ 는 결과,outcome $\zeta$ 를 실수 $X(\zeta)$ 로 사상,map하는 함수,function.

예를 들어 동전 세 번 던지기.
표본공간,sample_space S={HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT} 이다.
확률변수 X는 H(head)가 나온 횟수라면?

사건,event {X = k} = {세번 동전던지기에서, k개의 head}
S_X = {0, 1, 2, 3}

k	HHH	HHT	HTH	THH	TTH	THT	HTT	TTT
X(k)	3	2	2	2	1	1	1	0

이산확률변수란?
이산확률변수 $A$ 는 가산집합,countable_set S_X={x₁, x₂, x₃, …}에서 값이 왔음을 가정하는 확률변수

확률질량함수(PMF)란?
확률변수 $X$ 의 PMF는, 수,number $X(\zeta)=k$ 를 얻을 확률,probability을 specify(본문에 species는 틀린?) 하는 함수,function.
PMF를 저기선 $p_X(k)=P[X=k]$ 로 표기.

PMF의 성질

$\forall x, \; p_X(x)\ge 0$
$\textstyle\sum_{x\in S_X} p_X (x) = \sum_{\text{all }k} p_X (x_k) = \sum_{\text{all }k} P[x_k] = \sum_{\text{all }k} P[A_k] = 1$
$\textstyle P[X \text{ in } B] = \sum_{k\in B}p_X(k) \;\text{ where }\; B\subset S_X$

피곤해서 중단 8m~ next time
}

Example ¶

Examples of discrete random variable

Name	Values	Pro-	-babilities	Symbol	Parameters
Binomial	$0,\cdots,n$	Pr(X=k)=	${n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}$	Bin(n,p)	$0\le p\le 1,\,n\in\mathbb{N}$
Poisson	$\mathbb{Z}_{+}$	Pr(X=k)=	$e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$	Poiss(λ)	$\lambda>0$
Geometric	$\mathbb{Z}_{+}$	Pr(X=k)=	$p(1-p)^{k-1}$		$0\le p \le 1$
Uniform	$\left\lbrace x_1,\cdots,x_k\right\rbrace$	Pr(X=x_j)=	$\frac1{k}$		$k\in\mathbb{N},\,x_1,\cdots,x_k\in\mathbb{R}$