다항식,polynomial

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모든 '''다항식'''의 [[정의역,domain]]은
$\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$
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[[단항식,monomial]](들)의 [[합,sum]].
{
숫자와 문자, 문자와 문자 사이에 [[곱셈,multiplication]]으로만 맺어진 [[식,expression]]
[[계수,coefficient]]: 문자 이외의 부분
동류항: 문자 부분은 같고 계수는 다른 항
[[차수,degree]]:
ex.
$7ax^2$ 는
a에 관해 1차,
x에 관해 2차이며
a, x에 관해 3차
ex.
문자 없는 숫자만을 영(0)차 단항식으로 생각할 수 있음.
$x^{-1}, \sqrt{x}$
등이 포함되어 있으면 단항식이 아님.
$2^{-1}, \sqrt{2}$
등의 숫자는 계수에 있어도 됨.
보통 [[계수,coefficient]] - [[변수,variable]]문자 - 지수 순으로 씀.
CHK: Q: '''단항식'''은 [[차수,degree]]가 1인 [[다항식,polynomial]] ? 0?
no, 수학백과 보면, 차수degree는 단항식을 이루는 문자의 개수.
[[항,term]] 수가 하나인 다항식.
다항식 중 항이 한개인 특수한 경우가 '''단항식'''.
단항식에서 [[계수,coefficient]]를 제외하면 보통 term이라 부름.
[[WpKo:단항식]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338482&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 단항식]]
[[WpEn:Monomial]]
https://mathworld.wolfram.com/Monomial.html
Up: [[다항식,polynomial]]
}
'''다항식,polynomial'''은, [[단항식,monomial]](들)의 [[합,sum]].

'''다항식''' 중에서, 더해지는 항(term)의 개수가 1이면 단항식. (이름과는 좀 맞지 않지만)
'''다항식''' 중에서, 더해지는 [[항,term]]의 개수가 1이면 단항식. (이름과는 좀 맞지 않지만) (i.e. 다항식은 항상 '많은 수의 항, 여러 개의 항'이 아님. 단항식도 다항식의 일종. 다항식의 특수한 경우(항이 한 개인 경우)가 단항식.)
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see also [[다항함수,polynomial_function]]
See also [[다항함수,polynomial_function]]
{
다음과 같이 표현되는 함수 $P$ 를 '''다항함수'''라고 한다.
$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$
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선형대수적 관점에서, [* https://www.youtube.com/watch?v=TgKwz5Ikpc8 7:50]
space: all polynomials
[[공간,space]]: all polynomials
[[기저,basis]] functions:
$b_0(x)=1$
$b_1(x)=x$
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$b_3(x)=x^3$
$\vdots$
그리고 이것들의 [[선형결합,linear_combination]]이 '''polynomial'''...
''QQQ 명칭이 [[기저함수]] ? Ndict:기저함수 ([[LCAO]]언급) Ggl:기저함수 WtEn:basis_function WpEn:basis_function ?
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Sub:
[[테일러_다항식,Taylor_polynomial]]
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[[Jacobi_polynomial]] - 〃
[[기약다항식,irreducible_polynomial]] - 〃
[[가약다항식,reducible_polynomial]] - 〃
[[다항식높이,polynomial_height]] (? tentative pagename) - w
https://mathworld.wolfram.com/PolynomialHeight.html
polynomial_factorization - [[인자분해,factorization]] w

= TBW - 용어/분류 임시 =
다항식의 용어들이나 분류 - 서술예정, 개요만 간략히 적어둠 (고급수학.pdf p35)
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WpKo:호너의_방법
[[WpEn:Horner's_method]]
다만 MW에서 쓰는 용어는 https://mathworld.wolfram.com/HornersRule.html 이다. https://mathworld.wolfram.com/HornersMethod.html 가 아니고.
''[[Date(2023-08-16T03:43:46)]]: found [[WtEn:Horner's_method]] & [[WtEn:Horner's_rule]]''
''is_a 다항식평가 polynomial_evaluation ? { Up: [[다항식,polynomial]] [[평가,evaluation]] }''
= w =
Sub:
[[매듭다항식,knot_polynomial]]

----
Twins:
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Libre:다항식

http://oeis.org/wiki/Polynomials
https://ncatlab.org/nlab/show/polynomial

Up: [[식,expression]]?


$P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$
$n\in\mathbb{Z}^*$ (n is a nonnegative integer)
일 때 함수 $P$ 를 다항식이라고 한다.
The sums of power functions with nonnegative integer exponents.
$P(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\cdots+a_1\cdot x + a_0 \qquad\qquad (a_n\neq 0)$
여기서
$n$ : 차수,degree - https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDegree.html
$x$ : 변수,variable
모든 다항식의 정의역,domain은
$\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$
다항식,polynomial은, 단항식,monomial(들)의 합,sum.

다항식 중에서, 더해지는 항,term의 개수가 1이면 단항식. (이름과는 좀 맞지 않지만) (i.e. 다항식은 항상 '많은 수의 항, 여러 개의 항'이 아님. 단항식도 다항식의 일종. 다항식의 특수한 경우(항이 한 개인 경우)가 단항식.)
See also 다항함수,polynomial_function
{
다음과 같이 표현되는 함수 $P$ 를 다항함수라고 한다.
$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$
여기서 $n$ 은 음이 아닌 정수이고
$a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n$ 은 상수로서 다항함수의 계수,coefficient라 한다.
임의의 다항함수의 정의역은 $\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$ 이다.
최고차항 계수가 $a_n\ne 0$ 이면, 다항함수의 차수,degree는 $n$ 이다.
1차 다항함수는 일차함수(선형함수)
2차 다항함수는 이차함수,quadratic_function
3차 다항함수는 삼차함수,cubic_function
(Stewart 8e 번역서)



$f$ 가 $n$ 차(degree) 다항함수라면, $f$ 의 그래프는 최대 $n-1$ 개의 turning points(증감이 바뀌는 점)를 갖는다. CHK


선형대수적 관점에서, [1]
공간,space: all polynomials
기저,basis functions:
$b_0(x)=1$
$b_1(x)=x$
$b_2(x)=x^2$
$b_3(x)=x^3$
$\vdots$
그리고 이것들의 선형결합,linear_combination이 polynomial...
''QQQ 명칭이 기저함수 ? Ndict:기저함수 (LCAO언급) Ggl:기저함수 WtEn:basis_function WpEn:basis_function ?
[edit]

TBW - 용어/분류 임시

다항식의 용어들이나 분류 - 서술예정, 개요만 간략히 적어둠 (고급수학.pdf p35)
{
다항식
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$
where
$n$ : 음이 아닌 정수, $\mathbb{Z}^\star$
$a_0,a_1,\cdots,a_n$ : $\mathbb{Q,R,C}$ 중 하나, 계수
에서,
$a_n\ne 0$ 일 때,
$\operatorname{deg}(f)=n$ : 차수
$a_n$ : 최고차항의 계수
$a_1=a_2=\cdots=a_{n-1}=a_n=0,$ 즉 $f=a_0$ 일 때 $f$ 는 상수다항식.
$a_0\ne0$ 이면 $f$ 의 차수는 0
$a_0=0$ 이면 $f$ 의 차수는 -∞이며 $f$ 는 영다항식.

$g=qf$ 만족시키면 $f$ 가 $g$ 를 나눈다고 하며 $f|g$ 로 나타냄. 이 때
$f$ 는 $g$ 의 약다항식
$g$ 는 $f$ 의 배다항식

나눗셈정리 - 몫과 나머지가 유일하게 존재한다는..
나머지정리 - $f(c)=0$ 이면 $f(x)=(x-c)q(x)$ 를 만족하는 $q(x)$ 가 유일하게 존재
최대공약다항식
기약다항식 - 곱으로 나타낼 수 없을 때..
다항식의 인수분해 정리 - 다항식은 기약다항식들의 곱으로 표시되고 그 표시 방법은 유일..
근본다항식 - 계수들을 모두 나누는 정수가 ±1 뿐일 때
가우스의 정리 - 다항식의 기약성에 관한
}

[edit]

TBW : polynomial representation (by points?)

$(d+1)$ points uniquely define a degree $d$ polynomial
https://www.youtube.com/watch?v=h7apO7q16V0 4:25

이건 아마도 '결정조건'? (note.txt에서 결정조건 검색)

[edit]

계산 알고리즘 - Horner's method

호너_방법? Horner_method
다항식
$p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$
의 값을 계산(calculation, evaluation)할 때 연산을 줄이는 방법.
다음과 같이 변형하여 가장 안쪽 괄호부터 계산.
$p(x)=(\cdots((a_n x + a_{n-1})\times x + a_{n-2})\times x + \cdots + a-1)\times x + a_0$

단순한 방법으로는
$b_n=a_n\times x_0\times \cdots \times x_0$ (곱셈 $n$ 번)
$b_{n-1}=a_{n-1}\times x_0\times \cdots \times x_0$ (곱셈 $n-1$ 번)
$\vdots$
$b_2=a_2\times x_0\times x_0$ (곱셈 2번)
$b_1=a_1\times x_0$ (곱셈 1번)
$p(x)=b_n+b_{n-1}+\cdots+b_1+a_0$
호너 방법으로는
$c_n=a_n\times x_0+a_{n-1}$
$c_{n-1}=c_n\times x_0+a_{n-2}$
$\vdots$
$c_3=c_4\times x_0+a_2$
$c_2=c_3\times x_0+a_1$
$p(x)=c_2\times x_0+a_0$

이렇게 연산하게 되므로,

단순한 방법으로는 덧셈 $n$ 번과 곱셈 $n(n+1)/2$ 번,
호너 방법으로는 덧셈 곱셈 각각 $n$ 번.

(컴퓨터 알고리즘, 박정호)

WpKo:호너의_방법
WpEn:Horner's_method
다만 MW에서 쓰는 용어는 https://mathworld.wolfram.com/HornersRule.html 이다. https://mathworld.wolfram.com/HornersMethod.html 가 아니고.
2023-08-16: found WtEn:Horner's_method & WtEn:Horner's_rule
is_a 다항식평가 polynomial_evaluation ? { Up: 다항식,polynomial 평가,evaluation }

[edit]

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