멱급수,power_series

멱급수,power_series (rev. 1.48)
$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 꼴로 나타낼 수 있는 급수,series.

$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\,\cdots\,+a_nx^n+\,\cdots$

이것도? - yes.
$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\,\cdots$

여기서 $c$ 를 center라고 한다. (중심,center)
바로 위 멱급수는
  • power series in $(x-c)$
  • power series centered at $c$
  • power series about $c$
등으로 읽는다.
$a_0,a_1,\cdots$ 는 당연히 계수,coefficients.

그러니까 무한차 다항식,polynomial? CHK


A power series about $x=a$ is a sum of constants times powers of $(x-a)$ :
$C_0+C_1(x-a)+C_2(x-a)^2+\cdots+C_n(x-a)^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}C_n(x-a)^n$

수렴반경 : 특정 조건을 만족하는 실수 ...

수렴구간



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1. 진법, 수 체계와의 관련

A number is expressed with a power series in base(radix) r.

$(a_na_{n-1}\cdots a_1a_0.c_1 c_2 c_3\cdots)_b = \sum_{k=0}^n a_kb^k + \sum_{k=1}^\infty c_kb^{-k}$

관련 페이지: 기수법,numeral_system

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2. 함수를 멱급수로 나타내기 representations of functions as p. s.

예: $|x|<1$ 이면
$\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$
응용:
$\frac1{1+x^2}=\frac1{1-(-x^2)}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots\;(|-x^2|<1)$
$\frac{x^3}{x+2}=\frac{x^3}{2}\left(\frac1{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}\right)=\frac{x^3}{2}\left(1-\frac{x}2+\frac{x^2}{2^2}-\frac{x^3}{2^3}+\cdots\right)$
$=\frac{x^3}{2}-\frac{x^4}{2^2}+\frac{x^5}{2^3}-\frac{x^6}{2^4}+\cdots\;(|-\frac{x}2|<1,\,|x|<2)$


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3. 멱급수전개 power series expansion


$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$

sin, cos의 첫 항을 기억해내는 방법은 그래프를 생각하는 것

$e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

$\ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac1{4}x^4+\cdots$

$\tan^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$

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4. 멱급수의 수렴 반지름

멱급수 $f(x)=\sum c_n x^n$ 을 고려하자. 급수의 수렴 혹은 발산은 입력 변수 $x$ 를 어떻게 선택하느냐에 따라 달라진다. 수렴 반지름은 $\rho$ 로 표기하는데, 이 값은 n제곱근 판정법 혹은 비율 판정법을 사용하여 구할 수 있다.
$\frac{1}{\rho}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|$
멱급수 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n x^n$ 은 모든 $-\rho<x<\rho$ 에 대해 수렴한다.
(Ivan Savov)

//수렴반경 수렴반지름

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5. 형식적 멱급수 formal power series

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6. tmp; Stewart Appendix F에서. TOMOVE

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6.1. 수렴발산관련 page A49

Thm.
$x=b(b\ne 0)$ 일 때 멱급수 $\sum c_n x^n$ 이 수렴하면, $|x|<|b|$ 일 때도 수렴한다.
$x=d(d\ne 0)$ 일 때 멱급수 $\sum c_n x^n$ 이 발산하면, $|x|>|d|$ 일 때도 발산한다.
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6.2. p A50

멱급수 $\sum c_n x^n$ 에 대해, 다음 세 가지 가능성밖에 없다. (다음 세 가지 중 하나이다?)
  1. $x=0$ 일 때만 수렴한다.
  2. 모든 $x$ 에 대해 수렴한다.
  3. $|x|<R$ 이면 급수가 수렴하고, $|x|>R$ 이면 급수가 발산하는 그런 양수 $R$ 이 존재한다.
멱급수 $\sum c_n(x-a)^n$ 에 대해 다음 세 가지 가능성밖에 없다.
  1. $x=a$ 일 때만 수렴한다.
  2. 모든 $x$ 에 대해 수렴한다.
  3. $|x-a|<R$ 이면 급수가 수렴하고, $|x-a|>R$ 이면 급수가 발산하는, 그런 양수 $R$ 이 존재한다.
(모두 증명 있음, 책 참조)

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7. 관련