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테일러 급수의 유도와 의미
https://angeloyeo.github.io/2019/09/02/Taylor_Series.html
어떤 함수를 다항함수,function#s-9.1 (다항식,polynomial, 테일러_다항식,Taylor_polynomial?)로 근사,approximation(curr goto 선형근사,linear_approximation)하는?

1. 정의

2. 수렴구간

3. 수렴반경 수렴반지름

4. 유도 과정(?) CHK NOTSURE

5. 고등학생을 위한 고급미적

5.1. 정의
5.2. 성질
5.3. 해석적

6. 여러 함수의 테일러 전개

[edit]

1. 정의 ¶

함수 $f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 테일러 급수는

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
$=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +\cdots$

$+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots$

$a=0$ 일 때는 매클로린_급수,Maclaurin_series

f(x)가 x=a에서의 테일러 급수와 같을 때, f(x)는 x=a에서 해석적(analytic)

해석함수,analytic_function

a에서 smooth해야만 정의되나?

q:한없이 미분가능할 때만 정의?

테일러_정리,Taylor_theorem에 의하면 어떤 조건을 만족하는 함수는 항상 테일러 급수로 나타낼 수 있다. via https://mathworld.wolfram.com/TaylorsTheorem.html

n 대신 k를 쓰면,
$\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}}$

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2. 수렴구간 ¶

수렴,convergence하는 $x$ 만 모으면 구간,interval이 된다.

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3. 수렴반경 수렴반지름 ¶

see 수렴,convergence

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4. 유도 과정(?) CHK NOTSURE ¶

테일러_정리,Taylor_theorem 페이지로?

원하는 만큼 미분 가능한 함수 $f$ 를, 이렇게 다항함수의 무한급수로 나타내는 것을 ...라 한다.

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+c_3(x-a)^3+\cdots$

TODO TBW

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5. 고등학생을 위한 고급미적 ¶

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5.1. 정의 ¶

함수 $f(x)$ 가 $(a,b)$ 에서 임의의 횟수로 미분 가능하고 $c\in(a,b)$ 일 때,
$c$ 를 중심으로 하는 $f(x)$ 의 테일러 급수는

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n$

중심이 $c=0$ 인 경우 매클로린_급수,Maclaurin_series라고 부른다.

[edit]

5.2. 성질 ¶

$c$ 를 중심으로 하는 $f(x)$ 의 테일러 급수를 $S(x)$ 라고 하자.

$S(x)$ 가 수렴하는 점 $x$ 들의 집합은 구간이 된다. 이 구간을 수렴구간이라고 부른다.
수렴구간의 중심은 $c$ 이다. 이 때 수렴구간의 길이의 반을 수렴반경이라고 부른다.

(단, 구간의 양 끝점에서는 각각 수렴할 수도 있고 수렴하지 않을 수도 있음)
수렴반경공식: 테일러 급수에서 $(x-c)^n$ 의 계수를 $a_n$ 이라고 할 때

$r=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\left(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\right)^{-1}$
수렴 구간 내부의 임의의 점에서 함수를 미분하거나 적분한 것은 테일러 급수의 항마다 미분하거나 적분한 것과 동일하다.

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5.3. 해석적 ¶

$f(x)$ 의 테일러 급수가 수렴하는 함수는 $f(x)$ 와 같을 수도 있고 다를 수도 있다. 만약 길이가 양수인 구간에서 $f(x)$ 의 테일러 급수가 $f(x)$ 에 수렴하면 $f(x)$ 를 그 구간에서 해석적인 함수라고 부른다.

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6. 여러 함수의 테일러 전개 ¶

mv to 테일러_전개,Taylor_expansion?

or Taylor_series_expansion? pagename TBD

삼각함수,trigonometric_function를 테일러 전개하면
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$
참고로 윗줄을 미분하면 아랫줄이 나온다.

지수함수,exponential_function을 테일러 전개하면
$e^x = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
$x$ 자리에 $ix$ 를 대입하면
$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\cdots$

$=\left( 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \right) + i\left( x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -\cdots \right)$
$=\cos x+i\sin x$

즉 오일러_공식,Euler_formula이 성립

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$
$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$
가 성립하므로,

$\sin x=\frac{1}{2i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)$
$\cos x=\frac{1}{2}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)$
복소수,complex_number와 삼각함수의 관계가 나옴

쌍곡선함수,hyperbolic_function의 테일러 전개

$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots$
$\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$

이것은,
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$
$e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
와
$\sinh x=\frac12(e^x-e^{-x})$
$\cosh x=\frac12(e^x+e^{-x})$
에서 유도 가능.

로그함수,logarithmic_function은 lnx가 아니라 ln(x+1) 테일러 전개가 소개되는데, 이유?