선형변환,linear_transformation

Redirected from page "선형변환,linear_transformation"

AKA 일차변환, 선형사상,linear_map

벡터공간,vector_space에서 벡터공간으로 가는 함수,function.

다음 조건을 만족한다.
  • $T(x_1+x_2)=T(x_1)+T(x_2)$
  • $T(c\times x)=c\times T(x)$
{ i.e. 변환,transformation선형성,linearity을 만족한다. } - chk


Sub:
직교변환,orthogonal_transformation - 직교성,orthogonality 선형변환? chk
bounded_linear_transformation

// 이하 sub임. via BigBook p196-199
영변환 zero_transformation $T(\vec{v})=\vec{0}$
항등변환 identity_transformation $T(\vec{v})=\vec{v}$
행렬변환 matrix_transformation $T_A(\vec{x})=A\vec{x}$
정사영,orthogonal_projection - curr at 사영,projection
사영,projection도? chk
모든 선형변환은 행렬변환으로 나타낼 수 있다. p199



1. 정의

벡터공간,vector_space $V,\,W$ 가 있고,
사상,map $L:V\to W$ 가 임의의 벡터,vector $v_1,v_2\in V$ 와 임의의 스칼라,scalar $k$ 에 대해 다음 두 조건을 만족하면 $L$$V$ 에서 $W$ 로의 선형변환이라고 한다.
$\bullet\; L(v_1+v_2)=L(v_1)+L(v_2)$
$\bullet\; L(kv_1)=kL(v_1)$

특히, V에서 V자신으로의 선형변환 $L:V\to V$ 를 V위의 선형연산자(linear operator)라고 한다. 선형연산자,linear_operator

2. 성질

V, W가 벡터공간이고 L:V→W을 선형변환이라 하면 다음이 성립한다.
(1) L(0)=0
(2) v∈V, L(-v)=-L(v)
(3) v, w∈V, L(v-w)=L(v)-L(w)

3. 일차변환의 예

$\mathbf{e}_1'$ $\mathbf{e}_2'$
x방향 확대 $\binom{2}{0}$ $\binom{0}{1}$
y방향 확대 $\binom{1}{0}$ $\binom{0}{2}$
x방향 전단 $\binom{1}{0}$ $\binom{1}{1}$
y방향 전단 $\binom{1}{1}$ $\binom{0}{1}$
x축 반전 $\binom{-1}{0}$ $\binom{0}{1}$
y축 반전 $\binom{1}{0}$ $\binom{0}{-1}$
원점 중심으로 45° 회전 $\binom{ \frac{1}{\sqrt{2}} }{ \frac{1}{\sqrt{2}} }$ $\binom{ -\frac{1}{\sqrt{2}} }{ \frac{1}{\sqrt{2}} }$
임의의 각도 θ만큼 회전 $\binom{\cos\theta}{\sin\theta}$ $\binom{-\sin\theta}{\cos\theta}$
평면 전체를 직선으로 압축 $\binom{1}{1}$ $\binom{1}{1}$
(나카이 에츠지)

4. Invertible Linear Transformations

A linear transformation $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ is said to be invertible if there exists a function $S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ such that
$S(T(\vec{x}))=\vec{x},\,T(S(\vec{x}))=\vec{x}\;\;\forall\vec{x}\in\mathbb{R}^n$

이 때 S는 inverse of T, 즉 T-1이다.

(Lay, 2.3)

5. (TBW) 선형변환과 행렬의 관계

from namuwiki/행렬
선형대수학의_기본정리에 따르면, 모든 선형변환행렬,matrix로 표현 가능하고 그 역도 성립한다. 행렬,matrix#s-17 ("행렬과 일차변환")에 내용 있음.

See also [https]수학백과: 일차변환
{
TBW:
일차변환과 행렬,matrix의 관계
일차변환의 합성,composition과 행렬곱셈matrix_multiplication의 관계
}

Transformations and Matrices : 2D transformation (interactive app, 행렬 숫자를 바꿔가면서 어떻게 되는지 볼 수 있음)
https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-transform.html

행렬변환,matrix_transformation - sub으로?
변환행렬,transformation_matrix - 나중에 이 페이지의 sub?


선형변환을 행렬로 표현하는 것에 대해.

이 section의 적당한 pagename은 행렬표현,matrix_representation Srch:matrix_representation일까?



6. tmp links ko






chk: 선형변환이 아닌 변환은 모두 비선형변환?


관련:
선형성,linearity
사영,projection and 정사영(orthogonal projection)
영변환(zero transformation)
항등변환(identity transformation)
행렬변환(matrix transformation)



tmp bmks ko
https://chocobear.tistory.com/113 선형변환
https://chocobear.tistory.com/115 (del ok) 선형변환의 성질 중 하나를 알아봄 - with rank-nullity_theorem(= dimension_theorem)
https://chocobear.tistory.com/116 선형변환의 행렬 표현 - matrix_representation. 순서기저,ordered_basis 정의한 다음.