nullspace, null space
AKA 핵,kernel

Ax=0을 만족하는 A 집합을 Nul A 라고 한다. (A의 영공간)
The null space of a matrix $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ is the set of all solutions of a homogeneous linear system, Ax=0.

기호:

The null space of A ≡ Nul A

그러니 영공간은 어떤 행렬,matrix에 대해 정의되는? chk

영공간의 차원,dimension = 퇴화차수,nullity

Sub:
left_nullspace

전치행렬,transpose_matrix의 영공간. chk

right_nullspace

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ㄷㄱㄱ Week 5-1 ¶

방정식

$(A-\lambda I)\vec{x}=\vec{0}$

의 모든 해,solution의 집합,set은 행렬,matrix $(A-\lambda I)$ 의 영공간,null_space이며, (영공간을 이루며?)
$\lambda$ 에 대응하는 $A$ 의 고유공간,eigenspace으로도 부른다.
고유공간,eigenspace은 영벡터,zero_vector 및 (위 방정식을 만족하는 $\lambda$ 에 대응하는 모든 고유벡터,eigenvector들 )로 구성된다. - 번역chk

(원문)
(𝐴 − 𝜆𝐼)𝐱 = 𝟎
The set of all solutions of the above equation is the null space of the matrix (𝐴 − 𝜆𝐼), which we call the eigenspace of 𝐴 corresponding to 𝝀.
The eigenspace consists of the zero vector and all the eigenvectors corresponding to 𝜆, satisfying the above equation.

정의: 행렬 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ 의 영공간,null_space은 homogeneous_linear_system(동차선형계? curr. 선형계,linear_system) $A\vec{x}=\vec{0}$ 의 모든 해들의 집합이다.
$A$ 의 영공간을 $\operatorname{Nul}A$ 라고 표기한다.
$A=\begin{bmatrix}\vec{a_1}{}^t\\\vec{a_2}{}^t\\ \vdots \\ \vec{a_m}{}^t\end{bmatrix}$ 에 대하여, $\vec{x}$ 는 다음 조건을 만족해야 한다.

$\vec{a_1}{}^t\vec{x}=0,\, \vec{a_2}{}^t\vec{x}=0,\, \ldots,\, \vec{a_m}{}^t\vec{x}=0$

다시 말해, $\vec{x}$ 는 $A$ 안의 모든 행벡터,row_vector에 직교해야 한다. (should be orthogonal to) // 직교성,orthogonality

(원문)
Definition: The null space of a matrix 𝐴 ∈ ℝ^𝑚×𝑛 is the set of all solutions of 𝐴𝐱 = 𝟎 called a homogeneous linear system.
We denote the null space of 𝐴 as Nul 𝐴.
For $A=\begin{bmatrix}\vec{a_1}{}^t\\\vec{a_2}{}^t\\ \vdots \\ \vec{a_m}{}^t\end{bmatrix}$ $,\;\vec{x}$ should satisfy the following:

$\vec{a_1}{}^t\vec{x}=0,\, \vec{a_2}{}^t\vec{x}=0,\, \ldots,\, \vec{a_m}{}^t\vec{x}=0$

That is, $\vec{x}$ should be orthogonal to every row vector in $A.$

영공간은 부분공간
정리: 행렬 $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ 의 영공간,null_space은 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간,subspace이다. 다른 말로 하면, 연립방정식 $A\vec{x}=\vec{0}$ 의 모든 해의 집합은 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간이다.
Note: 그래서 고유공간,eigenspace은 특정한 차원,dimension의 기저,basis 벡터 집합을 갖는다. - 차원과 기저 벡터 개수가 같다는거? 번역chk

(원문)
Null Space is a Subspace
Theorem: The null space of a matrix 𝐴 ∈ ℝ^𝑚×𝑛 is a subspace of ℝ^𝑛. In other words, the set of all the solutions of a system 𝐴𝐱 = 𝟎 is a subspace of ℝ^𝑛.
Note: An eigenspace thus have a set of basis vectors with a particular dimension.

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MathWorld 설명 ¶

https://mathworld.wolfram.com/NullSpace.html
{
$\mathbb{R}^n$ 의 선형변환,linear_transformation중 하나를 $T$ 라 하면,
영공간 Null(T) 혹은 Ker(T)는,
다음을 만족하는 모든 벡터 $\vec{X}$ 들의 집합이다.

$T(\vec{X})=\vec{0}$

i.e.

$\text{Null}(T)\equiv\left\lbrace \vec{X} : T(\vec{X})=\vec{0} \right\rbrace.$

}

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핵,kernel ¶

핵,kernel은 동의어 같은데 뉘앙스 차이가 있다면 적을 것.

Twins:

Kernel_(linear_algebra) wpko는 못읽음.

관련 - nullity, rank, rank nullity thm

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Kernel
여기는 집합론,set_theory와 추상대수학 abstract_algebra의 kernel 얘기. 첫문장: "In general, a kernel is a measure of the failure of a homomorphism to be injective." // 준동형사상,homomorphism 단사,injection

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AKA 해공간 ¶

다음 페이지들에 의하면 해공간(solution space)도 같은 뜻이라고.
// 해공간,solution_space, 해,solution

Null Space, Solution Space 영 공간, 해 공간
http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=4763

https://wikidocs.net/76882 2. 에 의하면 뉘앙스가 약간 다른가? 영공간은 행렬에 대한, 해공간은 방정식에 대한... 이게 옳은듯? (물론 행렬과 방정식계는 equivalent하므로 구분이 별 의미는 없지만 뉘앙스가..)
{
행렬 $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ 에 대해 집합