오차함수,error_function

오차함수(error function) erf
보상오차함수, 여오차함수 (complementary error function) erfc
https://mathworld.wolfram.com/Erfc.html
복소오차함수(imaginary error function) erfi
https://mathworld.wolfram.com/Erfi.html
inverse error function erf-1
inverse complementary error function erfc-1

// from Lec 21 | MIT 18.01 Single Variable Calculus, Fall 2007 23:21
$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt$
$=\frac{2}{\sqrt{\pi}}F(x)$
F가 무엇이더라..

// from 공업수학I p.68
$\operatorname{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty}e^{-t^2}dt$

$\operatorname{erf}(x)+\operatorname{erfc}(x)=1$

wpko{
오차함수는 정규분포,normal_distribution의 누적분포함수,cumulative_distribution_function,CDF와 본질적으로 동일하다.
} - 따라서 정규분포의 확률밀도함수,probability_density_function,PDF와도 밀접, pdf 페이지에도 여러 번 언급.

같은 것인지 CHK
$\operatorname{erf}(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^x\exp\left(-\frac12t^2\right)dt$
2021-08-04 from namu; chk

오차함수 error function $\text{erf}$
$\text{erf}(x)=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} dt$
양변을 $x$ 에 대해 미분하면
$\int e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\text{erf}(x)+C$
형태는 sigmoid. (시그모이드함수,sigmoid_function 비슷?)
성질:
  • $|\text{erf}(x)|\le 1$
  • $\text{erf}(x)=-\text{erf}(-x)$ - 기함수, 홀함수
  • 복소수 $z$ 에 대해, $\text{erf}(z^*)=\text{erf}^*(z)$

여오차함수 complementary error function $\text{erfc}$
$\text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)$
$\text{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty}e^{-t^2}dt$

복소오차함수 imaginary error function $\text{erfi}$
$\text{erfi}(x)=-i\text{erf}(ix)$
$\text{erfi}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{t^2}dt$
미분하면
$\int e^{x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\text{erfi}(x)+C$

AKA erf, Gauss error function






related? :
프레넬_적분함수,Fresnel_integral // proper pagename??
{
제곱(이차함수) → sin(또는 cos) → 적분

사인과 코사인 두가지 버전이 있음. 프레넬 싸인 적분 함수 및 코사인 적분 함수
$S(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$
$C(x)=\int_0^x\cos(t^2)dt$
또는(t^2 앞의 계수 차이는 뭐지?? MKCLEAR)
${\rm FresnelS}(x)=\int_0^x\sin\left(\frac{\pi}2\cdot t^2\right)dt$
$\text{FresnelC}(x)=\int_0^x\cos\left(\frac{\pi}2\cdot t^2\right)dt$

사인적분함수,sine_integral_function의 정의
$\text{Si}(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{t} dt$
여기서 피적분함수는 $x=0$ 일 때 $1$ 이다.

Fresnel_sine_integral_function의 정의
$S(x)=\int_0^x \sin\left( \frac{\pi}{2}t^2 \right)dt$

(Zill 6e ko p71 chap2.3 연습문제 43-44)

$\operatorname{erf}(x)=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}dt$ 이다
$\int_a^b e^{-t^2}dt=\frac12\sqrt{\pi}\left[\operatorname{erf}(b)-\operatorname{erf}(a)\right]$ 임을 보여라 - Stewart 연습문제

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그리고 이걸 일반화한 Böhmer integral - WpEn:Böhmer_integral ... Boehmer_integral ?