일의거듭제곱근,unity_root

1의 거듭제곱근 - root of unity : 거듭제곱하여 1이 되는 복소수
1의 n제곱근 - nth root of unity : n제곱하면 1이 되는 복소수
보통 한 식에 n개씩 나오므로 복수형을 써서 roots of unity로 자주 언급됨

지수를 양의 정수로 거듭제곱,멱,power하여 (i.e. 같은 것을 양의 정수 번 곱하여) 1이 되는 복소수,complex_number.
Any complex number that yields 1 when raised to some positive integer power n.

$n$ 이 양의 정수이면(1, 2, 3, …),  ${\bf n}$ th root of unity는
$z^n=1$
을 만족하는 $z.$

이 근,루트,root/해,solution들은 단위원,unit_circle 위에 $(1,0)$ 을 기준으로 $n$ 개가 동일 간격으로 배열된 점....? 즉 그 각,angle은 $\frac{2\pi}{n}$ 의 정수배, 즉 저거 곱하기 {0,1,...,n-1} ... ... chk
(비교:
복소평면,complex_plane위에서,
1의 거듭제곱근들은 단위원,unit_circle 위의 점들,
(어떤 수)의 거듭제곱근,nth_root들은 중심이 원점,origin인 원,circle 위의 점들,
다항식이 좀 복잡해지면 or 더이상 원 모양이 아니고 어떤 곡선모양...? 리마송 같은 모양도 있고....tbw
) - chk

식
$x^n=1$
을 만족하는 $x,$ 즉 1의 n제곱근은 n개이며 그 꼴은
$\exp(2\pi ik/n)$
여기서
$k=0,1,2,\cdots,n-1$

기호는 $n$ 개 중 $k$ 번째를 다음과 같이 표기:
$\zeta_k, \ \epsilon_k$

A complex number $a$ is called an n-th root of unity, if
$a^n=1.$
$(n\in\mathbb{N})$

각 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해, 다음과 같은, 서로 다른, 정확히 n개의, n-th roots of unity
$\zeta_r:=\cos\frac{2\pi r}{n}+i\frac{2\pi r}{n},\quad 0\le r < n$
가 있다.

[edit]

최성우

$z^n=1$ 의 해 $(z\in\mathbb{C})$
$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$
라고 하자.
$\to\; z^n=r^ne^{in\theta}=1=1e^{i\cdot 0}$
$\to$
$r^n=1 \; (r>0,r\in\mathbb{R})$ : 유일하게 결정
$n\theta=2\pi k, \; k\in\mathbb{Z}$
여기서 $\theta=\frac{2\pi}{n}\cdot k$ 이므로 복소평면,complex_plane을 생각하면 $\theta$ 는 (단위원을 n등분 한 각)의 정수배.

따라서 $z^n=1$ 의 해는
$z=\cos\left(\frac{2\pi}{n}k\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{n}k\right)$
$=e^{i\frac{2\pi}{n}k}\;\;(k=1,2,\cdots,n)$
이런 n제곱했을때 1이 되는 근은 단위 n승근(primitive nth roots of unity)

ex.
$z^2=1$
$z=e^{i\frac{2\pi}{2}2},\,e^{i\frac{2\pi}{2}1}$
$=e^{i\cdot 0},\,e^{i\cdot\pi}$
$=\pm 1$
ex.
$z^3=1$
$z=1,\,e^{i\frac{2\pi}{3}},\, e^{-i\frac{2\pi}{3}}$
$=1,\, \cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3},\, \cos\frac{2\pi}{3}-i\sin\frac{2\pi}{3}$
$=1,\,-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2},\,-\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

(참고로 이하 일반적인 수의 n승근)
$z^n=z_0$ 의 해 (z0: 정해진 복소수)

$z_0=r_0e^{i\theta_0},\, z=re^{i\theta}$ 라고 놓자
$\to\; r^ne^{in\theta}=r_0e^{i\theta_0}$
$\to$
$r^n=r_0 \;\to\; r={r_0}^{\frac1{n}}(>0)$ 실수는 하나로 정해지고,
$n\theta=\theta_0+2\pi k$
$\theta=\frac{\theta_0}{n}+\frac{2\pi}{n}k \;(k\in\mathbb{Z})$

Ex. $z^3=8i=8e^{i\frac{\pi}{2}}$
$r_0=8,\;\theta_0=\frac{\pi}{2}$
${r_0}^{\frac13}=2$
$\frac{\theta_0}{n}=\frac{\pi}{2}/3=\frac{\pi}{6}$

30­°에서 $2(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac12)$
150°에서 $2(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac12)$
270°에서 $-2i$



특히 여기서 unity는 1을 뜻함. // rel. unity 단위,unit? 하나,one
https://mathworld.wolfram.com/Unity.html

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공통: nth_root_of_unity ... https://everything2.com/title/nth roots of unity https://everything2.com/title/n nth complex roots of unity
드무아브르_공식,de_Moivre_s_formula
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주치,principal_value
복소함수,complex_function curr goto 함수,function#s-38