보통 빛을 쏴서 생긴 그림자에 비유.

표기 (다음 네 줄은 같음. due to https://wikidocs.net/74698 CHK)

proj_xy
x 위로의 y의 정사영
y의 x 위로의 정사영
projection of y onto x

각,angle 특히 교각(angle of intersection) 관련.
거리,distance의 계산과 관련.

사영을 하는 대상:
벡터,vector
선분,line_segment
모든 figures, shapes,
점,point - ex. (3D공간에서) 점 (a,b,c)에서 xy평면에 수선을 내리면 ‘xy평면으로 P의 사영’은 좌표가 (a,b,0)인 점.
...
사영하여 그림자가 그 위에 만들어지는(?) 대상:
축,axis위로,
직선,line 위로,
평면,plane 위로,
등등

projection matrix: ~~Class_2020_2~~ 공학수학2_선형대수에서 검색
,projection_matrix - 작성중

mklink
사영공간,projective_space - sub? 작성중
사영평면,projective_plane - 작성중

실사영평면,real_projective_plane

내적,inner_product
스칼라곱,scalar_product,dot_product

1. 벡터사영 vector projection
2. 스칼라사영 scalar projection
3. 스칼라사영과 벡터사영
4. 정사영
5. 입체사영 stereographic projection
6. Misc
7. bmks ko
8. CLEANUP
9. MKL idempotence / idempotency

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1. 벡터사영 vector projection ¶

벡터사영,vector_projection
표기: $\operatorname{proj}_{v}\vec{u}$ = $\vec{u}$ 의 $\vec{v}$ 위로의 벡터사영
벡터 $\vec{u}$ 가 힘,force이라면 proj_vu는 v방향으로의 유효 힘을 나타낸다. (Thomas)

Vector_projection

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2. 스칼라사영 scalar projection ¶

스칼라사영,scalar_projection

The scalar projection of $\vec{b}$ onto $\vec{a}$
AKA the component of $\vec{b}$ along $\vec{a}$

기호: $\text{comp}_{\vec{a}}\vec{b}$

정의:
The signed magnitude of the vector projection $|\vec{b}|\cos\theta$
$\theta$ 는 $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 사이 각,angle
$\frac{\pi}{2} < \theta \le \pi$ 일 때 음이다.

식

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta = |\vec{a}| ( |\vec{b}| \cos\theta )$

에서, $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 의 내적을

(a의 길이) × (b에서 a 위로의 스칼라사영)

으로 해석할 수 있음을 볼 수 있다.
다음 식에서

$|\vec{b}|\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\cdot\vec{b}$

이므로, $\vec{a}$ 방향의 단위벡터와 $\vec{b}$ 의 내적으로 계산할 수 있다.

(Stewart)

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3. 스칼라사영과 벡터사영 ¶

Scalar projection of $\vec{b}$ onto $\vec{a}:$

$\operatorname{comp}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|}$

Vector projection of $\vec{b}$ onto $\vec{a}:$

$\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{b}=\left( \frac{ \vec{a}\cdot\vec{b} }{ |\vec{a}| } \right) \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2} \vec{a}$

보다시피, 벡터사영은 스칼라사영 곱하기 $\vec{a}$ 방향으로의 단위벡터,unit_vector와 같다.

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4. 정사영 ¶

'정'의 뜻이, 사영 중에서 '수직 orthogonal perpendicular 한 특별한 경우' 맞음? AKA 직교사영, 수직사영?

Sub:

정사영,orthogonal_projection

$\mathbb{R}^3$ 의 벡터 $\vec{x}(\ne\vec{0}),\,\vec{y}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$\operatorname{proj}_{\vec{x}}\vec{y}=t\vec{x}$

where

$t=\frac{\vec{y}\cdot\vec{x}}{\vec{x}\cdot\vec{x}}=\frac{\vec{y}\cdot\vec{x}}{||\vec{x}||^2}$

x를 축으로 보고 그 위로 y벡터를 내린 것? CHK
(BigBook)

Bmks ko
https://soohee410.github.io/orthogonal_projection (Src: Lay)

밀접, 비교: 성분,component(esp. 한 벡터에서 다른 벡터의 성분)

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5. 입체사영 stereographic projection ¶

입체사영,stereographic_projection
{
극사영과 동의어? 완전? chk
[https]

수학백과: 극사영

mklink
위상동형사상,homeomorphism
"입체사영이 위상동형사상임"[1]

수학백과: 입체사영
https://mathworld.wolfram.com/StereographicProjection.html

Up: 사영,projection
}

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6. Misc ¶

벡터 및 선형대수 관련 문서를 읽다 보면 "정사영(projection)"이라는 표현이 엄청 자주 보이는데, 이것은 영단어 하나를 생략해 간단히 표시한 것이다. (엄밀히 말하면 틀렸다고 볼 수도 있고, 사영의 의미 중에서 다른 사영은 무시하고 임시로 정사영으로만 의미를 한정했다고 볼 수도 있다.) 명확하게 표현하면 둘은 각각,

사영 = projection
정사영 = orthogonal projection (= 직교사영)

이다.

사영보다 마이너하지만 '투영' 표현도 쓰임.

mklink
원근법 perspective ...