둘 이상의 독립변수에 대한 unknown function의 편미분을 동반한 미분방정식.

두 개 또는 그 이상의 독립변수,independent_variable에 관하여 하나 또는 그 이상의 종속변수,dependent_variable의 편도함수(편미분,partial_derivative)를 포함하는 방정식.

Sub:

슈뢰딩거_방정식,Schroedinger_equation
파동방정식,wave_equation
열방정식,heat_equation

1. tmp from Vector Calculus 6e (p185)

1.1. The heat equation
1.2. The potential equation AKA Laplace's equation
1.3. Poisson's equation
1.4. The wave equation

2. TODO 합칠 내용

2.1. heat eq
2.2. Black-Sholes equations

3. 수치적 근사적 해법

4. 간단한 형식으로 써서 몇 PDE 비교

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1. tmp from Vector Calculus 6e (p185) ¶

Historical Note: 몇 개의 PDE

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1.1. The heat equation ¶

$\mathcal{B}\subset\mathbb{R}^3$ : a homogeneous body, represented by some region in 3-space
$T(x,y,z,t)$ : 온도,temperature of the body at the point (x,y,z) at time t
$k$ : conductivity (컨덕티버티,conductivity?? 온도의 것과 전기의 것이 다른데 저기 섹션을 추가하거나 별도의 페이지를 만들어야..)

일 때

$k\left(\frac{\partial^2T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right)=\frac{\partial T}{\partial t}$

(Joseph Fourier)

// 열방정식,heat_equation

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1.2. The potential equation AKA Laplace's equation ¶

$V$ : gravitational potential of a mass $m$ at a point $(x,y,z)$ caused by a point mass $M$ situated at the origin
$V=-GmM/r$
$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

일 때 퍼텐셜 V는 원점을 제외한 점에서 다음 식을 만족.

$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0$

// chk: 라플라스_방정식,Laplace_equation 이거?

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1.3. Poisson's equation ¶

$(x,y,z)$ 가 attracting body 안에 있으면 V는 다음 식을 만족

$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+{\partial^2 V \over \partial z^2}=-4\pi\rho$

$\rho$ : mass 밀도,density of the attracting body

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1.4. The wave equation ¶

linear wave equation in space:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}=c^2\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}$

1-dimensional wave equation:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=c^2\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}$

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2. TODO 합칠 내용 ¶

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2.1. heat eq ¶

열방정식,heat_equation
{
1D: 온도가 제각각인 막대(rod)를 생각

$\frac{\partial T}{\partial t}(x,t)=\alpha\frac{\partial^2T}{\partial x^2}(x,t)$
보면 좌변은 온도가 시간에 따라 어떻게 변하는지, 우변은 온도가 공간에 따라 어떻게 변하는지에 대한 것.
(우변은 공간에 대한 second partial derivative에 비례함을 서술함)

3D:

$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\left(\frac{\partial^2T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2T}{\partial z^2}\right)$

$=\alpha\nabla^2T$

여기서 T는 x,y,z,t를 파라미터로 하는 함수임. $T=T(x,y,z,t)$

1D에서 온도 변화에 대해 생각.
from https://youtu.be/ly4S0oi3Yz8?t=496 (3Blue1Brown의 DE 동영상 2: PDE관련)
어떤 점보다 그 주변(neighbor)의 평균 온도가 높다면 온도가 올라가고, 낮다면 온도가 내려갈 것이다.
문제를 간단하게 만들기 위해 (연속적이 아닌) 이산적인 1D 공간을 가정하고, 이웃하는 세 점을 생각하고, 주변은 양쪽 두 곳만 본다.
공간의 점 $x_1,x_2,x_3$ 가 연달아 있고, 그 점에서 온도가 각각 $T_1,T_2,T_3$ 이다.
주변 온도 평균은 $\frac{T_1+T_3}{2}$ 이다.
그래서 $\left(\frac{T_1+T_3}{2}-T_2\right)$ 가 양이면 뜨거워지고(heat up), 음이면 식을 것이다(cool down). 차이,difference가 클수록 빨리.