호의길이 , 호(의) 길이 (kms)

곡선,curve 길이는 통상적으로 arclength라고 불리는 듯 한데, 호,arc만의 길이가 아닌 것 확실한지 CHK

/// merge from 호,arc 의 부분 => 호,arc

TBW ¶

특별한 경우인 원호,circular_arc의 arclength는 쉬운 $l=r\theta$

일반적인 경우인 parametric 곡선,curve의 arclength는 // parametric_curve
$y=f(x)$ 형태일 때
$x=g(y)$ 형태일 때
$\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}$ 형태일 때
...tbw

[edit]

ds ¶

직각삼각형에서 $ds^2=dx^2+dy^2$

$\int ds$ 이게 바로 구하고자 하는 것이고, $L=\int ds=\int\sqrt{dx^2+dy^2}$ 임.

$y=f(x)$ 꼴의 식이 있을 땐

$ds=\sqrt{ 1+\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } dx$

$x=g(y)$ 꼴의 식이 있을 땐

$ds=\sqrt{ 1+\left( \frac{dx}{dy} \right)^2 } dy$

$\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}$ 꼴의 식이 있을 땐

$ds=\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 }dt$

호길이함수,arclength_function

기호 $s, \, s(t)$

곡선 $C$ 가 다음과 같은 벡터함수,vector_function이고, $\vec{r}'$ 이 연속이며, $t$ 가 $a$ 에서 $b$ 로 증가함에 따라 $C$ 는 꼭 한번만 궤적을 이룬다고 하자.

$\vec{r}(t)=f(t)\hat{i}+g(t)\hat{j}+h(t)\hat{k},\;\;a\le t \le b$

이 때 호의 길이함수(arc length function) $s$ 를 다음과 같이 정의한다.

$s(t)=\int_a^t \left| \vec{r}{}'(u) \right| du = \int_a^t \sqrt{\left(\frac{dx}{du}\right)^2 + \left(\frac{dy}{du}\right)^2 + \left(\frac{dz}{du}\right)^2}du$

따라서 $s(t)$ 는 $C$ 의 $\vec{r}(a)$ 와 $\vec{r}(t)$ 사이의 길이이다.
FTC 1을 이용해서 양변을 미분하면 다음을 얻는다.

$\frac{ds}{dt}=\left| \vec{r}{}'(t) \right|$

(Stewart ch13.3 arc length and curvature)

[edit]

곡선 길이 L을 r로 나타내면 ¶

$L=\int_a^b \left| \vec{r}{}'(t) \right| dt$

(Stewart)

[edit]

Bazett ¶

$a\le t\le b$ 에서 곡선 $\vec{r}(t)$ 의 길이는?
(1) $[a,b]$ 를 n개의 segments로 나누면

$\text{Arclength}\approx\sum_{i=1}^{n}(\text{Length of i-th segment})$

(2) i-th segment의 길이는

$\Delta L_i=\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2+(\Delta z_i)^2}$ 그러므로,
$\text{Arclength}\approx\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2+(\Delta z_i)^2}$

$=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2+(\Delta z_i)^2}\frac{\Delta t}{\Delta t}$
$=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta z_i}{\Delta t}\right)^2}{\Delta t}$

극한을 취하면

$\text{Arclength}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta z_i}{\Delta t}\right)^2}{\Delta t}$

For $\vec{r}(t)=f(t)\hat{\rm i}+g(t)\hat{\rm j}+h(t)\hat{\rm k}$ on $[a,b]$

$\text{Arclength}=\int_a^b\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2+h'(t)^2}dt$

(Bazett, The Arclength Formula in 3D, https://youtu.be/80J5s0pic8M)

See next: 곡률,curvature의 Bazett 부분

tmp and mklink - curve_length (writing)

이건 경로,path의 길이도 ok인데... ....그런가? rationale/src?

arclength

arc_length

길이,length 맨위에 어디어디서 언급되었는지 있으며 거기서 옮겨올것

https://www.mathsisfun.com/calculus/arc-length.html
https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcii/arclength.aspx

정적분,definite_integral으로 넓이,area, 부피,volume 뿐만 아니라 곡선,curve의 길이,length도 구할 수 있다.

// from wpen 대충.
일단, 문제를 간단히 해서 곡선 위 유한 개의 점으로 나눈 선분,line_segment들로 된 polygonal path(

Polygonal_chain : connected series of line segments)의 총 길이를 생각.
각 길이는 피타고라스_정리,Pythagorean_theorem로 구하여 합,sum하면 전체 길이.
이것은 많은 선분들을 사용한 근사,approximation.
참값을 구하려면 각 선분의 길이가 0으로 가는 극한,limit을.
(이상 chk)

[edit]