AKA 일차변환, 선형사상,linear_map

벡터공간,vector_space에서 벡터공간으로 가는 함수,function.

다음 조건을 만족한다.

$T(x_1+x_2)=T(x_1)+T(x_2)$
$T(c\times x)=c\times T(x)$

{ i.e. 변환,transformation이 선형성,linearity을 만족한다. } - chk

Sub:

직교변환,orthogonal_transformation - 직교성,orthogonality 선형변환? chk
bounded_linear_transformation

// 이하 sub임. via BigBook p196-199
영변환 zero_transformation $T(\vec{v})=\vec{0}$
항등변환 identity_transformation $T(\vec{v})=\vec{v}$
행렬변환 matrix_transformation $T_A(\vec{x})=A\vec{x}$
정사영,orthogonal_projection - curr at 사영,projection
사영,projection도? chk
모든 선형변환은 행렬변환으로 나타낼 수 있다. p199

1. 정의
2. 성질
3. 일차변환의 예
4. Invertible Linear Transformations
5. (TBW) 선형변환과 행렬의 관계
6. tmp links ko

[edit]

1. 정의 ¶

벡터공간,vector_space $V,\,W$ 가 있고,
사상,map $L:V\to W$ 가 임의의 벡터,vector $v_1,v_2\in V$ 와 임의의 스칼라,scalar $k$ 에 대해 다음 두 조건을 만족하면 $L$ 을 $V$ 에서 $W$ 로의 선형변환이라고 한다.

$\bullet\; L(v_1+v_2)=L(v_1)+L(v_2)$
$\bullet\; L(kv_1)=kL(v_1)$

특히, V에서 V자신으로의 선형변환 $L:V\to V$ 를 V위의 선형연산자(linear operator)라고 한다. 선형연산자,linear_operator

[edit]

2. 성질 ¶

V, W가 벡터공간이고 L:V→W을 선형변환이라 하면 다음이 성립한다.

(1) L(0)=0
(2) ^∀v∈V, L(-v)=-L(v)
(3) ^∀v, w∈V, L(v-w)=L(v)-L(w)

[edit]

3. 일차변환의 예 ¶

	$\mathbf{e}_1'$	$\mathbf{e}_2'$
x방향 확대	$\binom{2}{0}$	$\binom{0}{1}$
y방향 확대	$\binom{1}{0}$	$\binom{0}{2}$
x방향 전단	$\binom{1}{0}$	$\binom{1}{1}$
y방향 전단	$\binom{1}{1}$	$\binom{0}{1}$
x축 반전	$\binom{-1}{0}$	$\binom{0}{1}$
y축 반전	$\binom{1}{0}$	$\binom{0}{-1}$
원점 중심으로 45° 회전	$\binom{ \frac{1}{\sqrt{2}} }{ \frac{1}{\sqrt{2}} }$	$\binom{ -\frac{1}{\sqrt{2}} }{ \frac{1}{\sqrt{2}} }$
임의의 각도 θ만큼 회전	$\binom{\cos\theta}{\sin\theta}$	$\binom{-\sin\theta}{\cos\theta}$
평면 전체를 직선으로 압축	$\binom{1}{1}$	$\binom{1}{1}$

(나카이 에츠지)

[edit]

4. Invertible Linear Transformations ¶

A linear transformation $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ is said to be invertible if there exists a function $S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ such that