1. 미적분에서 ¶

정의: 다음 둘 중 하나에 해당되면 임계점.

함수가 미분가능하지 않은 점 또는
미분가능하고 미분계수가 0인 점

i.e.
실변수 함수 $f(x)$ 에 대해 다음 둘 중 하나를 만족하는 점 $a$ 또는 $(a,f(a))$ 가 임계점.

$\not\exists f'(a)$
$f'(a)=0$

Example: 수학백과 참조.

(미분가능하지 않은 점)
또는
(미분가능하고 미분계수가 0인 점).

$f'(c)$ 가 존재하지 않거나 $f'(c)=0$ 인 점 $x=c$ 를 임계점이라고 한다.

Def.
A critical number of a function $f$ is a number $c$ in the domain of $f$ such that either $f'(c)=0$ or $f'(c)$ does not exist. (Stewart)

Critical points are the points where a function's derivative is 0 or not defined.[1]

$\exists f(c)$ 일 때, 다음 둘 중 하나가 참이면 함수 $f$ 에서 $x=c$ 는 $f$ 의 임계점이다.

$f'(c)=0$
$\not\exists f'(c)$

(https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/CriticalPoints.aspx)

정의. 함수 $f$ 의 정의역에 속하는 내점,interior_point 중에서 미분계수,differential_coefficient가 0이거나 정의되지 않는 점을 $f$ 의 임계점이라고 한다.

함수가 극값,extremum을 가질 수 있는 정의역의 점은 임계점과 끝점 뿐이다.

그러나 임계점에서 국소 극값을 가지지 않을 수 있다. (예: $y=x^3$ 과 $y=x^{1/3}$ 은 원점이 임계점(o) 국소극값(x). 이것은 변곡점,inflection_point이다.) (Thomas 13e ko 3.1 p165)

극대값, 극소값과 관련. See 극값,extremum.

[edit]

2. 임계점 정리 ¶

극점,extreme_point은 임계점이다.
[https]

수학백과: 임계점 정리

임계점이 모두 극점인 것은 아니다.

임계점정리

$f(x)$ 가 $x=a$ 에서 극대거나 극소이면, $a$ 는 임계점이다.

다변수함수의 임계점 및 다변수함수의 임계점정리 :

// 극점,extreme_point과..
함수가 극값을 갖는 점은 임계점.
임계점이 모두 극점인 것은 아님.

즉 극점집합보다 임계점집합이 더 넓다(크다).

임계점집합 ⊇ 극점집합

[edit]

3. Kreyszig 4.3에서 ¶

임계점 근방에서의 궤적,trajectory의 형태에 따라 다섯 가지 유형의 임계점이 존재한다.

비고유마디점(improper node)
고유마디점(proper node)
안장점(saddle point)
중심(center)
나선점(spiral point)

[edit]

4. 안장점 saddle point ¶

안장점,saddle_point

어떤 점을 지나는 두 직선이 존재하는데, 한 직선을 따라 극소값이고, 다른 한 직선을 따라서 극대값이면, 그 점? CHK ( [https]

src)

극대점도 아니고 극소점도 아닌 임계점을 안장점,saddle_point이라고 부른다. (김홍종)

"극대점도 극소점도 아닌 임계점을 안장점(saddle point)이라 부른다." chk (src

다변수함수#s-6; see also

다변수함수#s-6.4)

tmp see also

쌍곡포물면

[edit]

5. TBW ¶

극점,pole
변곡점,inflection_point
정류점,stationary_point
과의 정확한 관계 적을 것

임계점이 반드시 극점은 아님. chk
극점은 임계점임. (임계점 정리)

자율 1계 미분방정식 $\frac{dy}{dx}=f(y)$ 에서 함수 $f(c)=0$ 이 되게 하는 실수 $c$ 를 자율미분방정식,autonomous_differential_equation의 임계점(critical point)이라고 한다. 임계점은 평형점,equilbrium_point 또는 정류점,stationary_point이라고도 불린다. (Zill 6e ko p44)
(미분방정식 소개 부분에서 언급. DE에서만 이렇게 동의어인 건지 다른 분야에서도 이런건지 chk)

[edit]

6. 임계수? critical_number ¶

임계수,critical_number

이건 분명 임계점과 같은 뜻인데 점,point 대신 수,number... 일변수함수에 해당되는건지?

... 완전히 같은 건 아니고 임계점은 (c, f(c))이고 임계수는 c인듯?? chk

Def.
A critical number of a function $f$ is a number $c$ in the domain of $f$ such that either $f'(c)=0$ or $f'(c)$ does not exist. (Stewart)

(정의)
함수 $f$ 의 임계수(critical number)는 $f'(c)=0$ 이거나 $f'(c)$ 가 존재하지 않는 $f$ 의 정의역,domain에 속한 수 $c$ 를 말한다. (Stewart 8e ko p176)

그리고 페르마_정리,Fermat_theorem를 이 용어를 사용해 다시 쓰면
If $f$ has a local maximum or minimum at $c,$ then $c$ is a critical number of $f.$
// 극대(local_maximum) 극소(local_minimum)

$f$ 가 $c$ 에서 극대나 극소이면 $c$ 는 $f$ 의 임계수이다. (Stewart 8e ko p176)

[edit]