행렬식,determinant

정사각행렬,square_matrix에 어떤 한 수를 대응시키는 함수/연산.
정사각행렬에서만 정의되며 스칼라이다.
$\det:\mathbb{R}^{n\times n}\to\mathbb{R}$

1×1 행렬에서는 $A=[a]$ 일 때 $|A|=a$

2×2 행렬에서
$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 이면 그 행렬식은 $\det(A)=\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix}=ad-bc$

3×3 행렬에서
......TBW 여러 방법이 있는데,
사루스_규칙? Sarrus_rule (writing) { WpEn:Rule_of_Sarrus ... Google:sarrus rule } <- 3x3에서만.
cofactor_expansion = Laplace_expansion (curr goto 여인수,cofactor) (is an 전개,expansion)
and?
(TODO '행렬식 구하는 법'을 별도의 문단으로 mk)

표기
행렬 $A$ 의 행렬식:
$\det(A)$ 또는 $|A|$
후자는 절대값,absolute_value과 표기가 같은데 이유?
$||A||$ 는 행렬식의 절대값을 의미. 노름,norm과의 관계는?

Sub:
특성행렬식(characteristic determinant) characteristic_determinant - 별거 아니고 det(A-λI). 특성다항식,characteristic_polynomial과 마찬가지? 이걸 0으로 놓으면 특성방정식,characteristic_equation. (via: 고유값,eigenvalue의 앞부분 Kreyszig 인용)
resultant



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1. 나눌 것

어떤 행렬의 역행렬,inverse_matrix 존재 여부 판별 도구. 즉 가역행렬,invertible_matrix인지 여부 판별 도구.

어떤 행렬 A의 행렬식 값
det(A)=0 : ∄A−1 : A는 역행렬을 갖지 않는다.
det(A)≠0 : ∃A−1 : A의 역행렬이 존재한다.
i.e.
가역행렬,invertible_matrix은 행렬식이 0이 아니다.

기하적으로는,

(대충) ~가(벡터,vectors들?) (서로 종속이 아니고 독립이어서) 넓이,area 부피,volume (.... 일반적으로 hypervolume?) 을 만들 수 있는지 '결정하는가'(hence the name)를 알려주는?

2차정사각행렬의 행렬식의 절대값은 두 벡터로 이루어진 평행사변형의 넓이,area, // 참고: (proof without words) determinant = area? https://lazymatlab.tistory.com/173
3차정사각행렬의 행렬식의 절대값은 세 벡터로 이루어진 평행육면체의 부피,volume CHK

선형변환,linear_transformation의 스케일(scale) 성분을 나타낸다.
det의 부호에 따라
양이면 도형의 방향(orientation)이 보존되고,
음이면 도형의 방향이 보존되지 않는다.
[1]

행렬에 의한 선형변환에 따른 면적 혹은 체적 변화율을 알아내고자 행렬식을 쓸 수 있다.

판별식,discriminant과 관계는?
어떤 구조에서 특징을 나타내는 실수 하나를 이끌어내본다 뭐 그런 아이디어는 비슷한 듯 한데

라플라스_전개,Laplace_expansion = 여인수 전개로 구할 수 있음. see 여인수,cofactor#s-2
(행렬식을 구하는 방법 중 하나)

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2. 성질 // from KUIAI, CHK

기본연산과 행렬식

$n\times n$ 행렬 $A,B$ 에 대해
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3. tmp links ko

직선,line의 방정식, 공선성collinearity, .. 과의 관계: http://blog.naver.com/mykepzzang/221087959141 참조.

행렬식의 성질 및 행렬의 동등정리(equivalent theorem): equivalence thm 아닌가?
http://blog.naver.com/mykepzzang/221121796109
(가역성(related: 가역행렬,invertible_matrix)은 매우 다양한 형태로 나타난다는 것을 알 수 있음.)

행렬식 관련 특성들 몇가지
https://m.blog.naver.com/sw4r/221921845987

행렬식의 귀납적 정의
https://aerospacekim.tistory.com/111

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4. Wronskian

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5. Jacobian determinant

야코비 행렬식(Jacobian determinant): 야코비 행렬(Jacobian matrix)의 행렬식
See 야코비안,Jacobian

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6. Vandermonde determinant

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7. Moore determinant

curr see WpEn:Moore_matrix
저것의 행렬식은 WpEn:Moore_determinant_over_a_finite_field
다만 WpEn:Moore_determinant_of_a_Hermitian_matrix도 있음에 주의

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8. Dieudonné determinant

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9. Gram determinant


Gram_matrix의 행렬식,determinant.


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10. 성질

같은 크기의 정사각행렬 A, B에 대해
$|AB|=|A| |B|$
이유?

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11. 삼중곱과의 관계 및 행렬식의 세 조건

삼중곱,triple_product과의 관계 (삼중곱은 바로 앞에서 설명함)
그리고 임의의 n차원에서 세 가지 조건을 만족하는 함수가 항상 있으며 그게 바로 determinant라는 ..? chk

See 김도형 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1141060 5. (3차원 좌표체계, 내적과 외적) 1h:22m

대충 적으면,
2차원 평면과 그 위의 두 벡터 a1 a2 가 있을 때, 두 벡터로 결정되는 평행사변형의 넓이,area함수 A(a1, a2)가 있으면 A는 다음을 만족
① D(e1, e2)=1
② A(λa1, a2)=λA(a1, a2) 그리고 A(a1, λa2)=λA(a1, a2)
③ A(a1+a2, a2) = A(a1, a1+a2) = A(a1, a2)
이상 2차원 얘기였고
2차원에선 이게 ad−bc 바로 그거이고
3차원에선 벡터가 세개이며 부피,volume
n차원에서도 성립

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12. 비교: 퍼머넌트 permanent


ex. 2x2일 때
$\text{perm}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad+bc$

via https://brunch.co.kr/@sjoonkwon0531/21
{
det의 계산은 P class - $\mathcal{O}(n^3)$ 이지만 perm의 계산은 그렇지 않다 - 훨씬 어렵다. 비교적 간단한 square mtx의 perm 계산도 NP-hard.
}


}

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13. 표기법에 대해 (김홍종)

정사각행렬 A의 행렬식을 기호 det A로 나타내는 대신에 |A|로 쓰는 저자도 있다. 이 편리한(?) 기호는, A의 절댓값을 나타내는 기호와 약간 혼동을 주고, 더 나아가서 치환적분법에서 중요하게 나타나는 행렬식의 절댓값을 ‖A‖로 나타내야 하는 부담을 준다. 우리는 기호 "det A"를 쓰기로 한다. 행렬식을 결정식이라고 부르는 이도 있다.

(김홍종 미적1+ p260 행렬식 각주)

이름은 '결정,determination'에서.

MKL 벡터,vector
(아래의 경우 각각 2x2 행렬의 두 벡터, 3x3 행렬의 세 벡터 얘기)
2D 평면에서 두 벡터를 같은 시점으로 놓아 평행사변형,parallelogram을 만들어 0이 아닌 넓이,area를 가지는가 여부를 결정함.
3D 공간에서 세 벡터를 같은 시점으로 놓아 평행육면체,parallelepiped를 만들어 0이 아닌 부피,volume를 가지는가 여부를 결정함.
(종속(종속성,dependence)이 아닌 독립(독립성,independence)이어야 0이 아닌 저것을 만들 수 있음을 상기)
(이정일 https://youtu.be/hIRveiSlLnY?t=2056)



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