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'''''[[스칼라곱,scalar_product,dot_product]]'''''보다 더 일반적인 개념
두 벡터의 '연관성',,correlation?,,이나 '유사성',,similarity,,과 관련지어 설명된다.
대략,
두 벡터의 '연관성',,correlation?,,이나 '유사성',,similarity,,과 관련지어 설명된다. // [[유사도,similarity]]. 두 벡터가 얼마나 '닮았나'에 대한?
연산 시 두 벡터의 순서는 상관없다. (내적 연산은 [[교환법칙,commutativity]] 성립)직교할 경우 관련이 없는 것으로, 숫자(내적 결과값)는 0으로, ([[직교성,orthogonality]])
반대 방향이면 음의 관련이 있는 것으로, 숫자는 음수로, ....
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을 x와 y의 '''내적'''이라 하고$\vec{x}\cdot\vec{y}$
로 나타낸다.
----
[[벡터공간,vector_space]] V의 '''내적'''이란 이중선형함수 (bilinear_map ? rel. bilinearity)
〈 , 〉 V × V → ℝ
로서 다음 성질을 가지는 것을 뜻한다.
* v, w ∈ V ⇒ 〈v, w〉 = 〈w, v〉
* v ∈ V, v ≠ 0 ⇒ 〈v, v〉 > 0
(김홍종 미적1+ p385)
----$\mathbb{R}^n$ 의 '''내적'''이란 두 벡터변수 함수 $\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 로서 다음 조건을 만족시키는 것.
1. (양정치) $\langle\vec{v},\vec{v}\rangle\ge 0$ 이고, $\langle\vec{v},\vec{v}\rangle=0$ 일 필요충분조건은 $\vec{v}=\vec{0}$
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4. (쌍선형 2) 모든 실수 $\alpha$ 에 대해 다음이 성립$\langle\alpha\vec{v},\vec{w}\rangle=\alpha\langle\vec{v},\vec{w}\rangle=\langle\vec{v},\alpha\vec{w}\rangle$
즉, '''내적'''은 양정치(positive definite)(kms: 양의 정부호)이고 쌍선형(bilinear)(kms: 이중선형의, 쌍선형의)인 대칭(symmetric) 함수.
[[대칭,symmetry]]
[[대칭성,symmetry]]
(AnamLectureNotesVol1_20200210.pdf)= 크기(norm)와의 관련 =
$\vec{x}\cdot\vec{x}=||\vec{x}||^2$
rel. [[노름,norm]]
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Inner_Product_Norm
= 코시-슈바르츠 부등식과의 관련 =
$\forall\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음이 성립한다.
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rel. [[브라켓표기법,bra-ket_notation]]bra벡터와 ket벡터의 곱은 '''내적'''과 같은데... 나중에 정확히. tbw
= PL의 내적 문법/함수/... =
[[넘파이,NumPy]] : {{{np.inner(v, w)}}}
= Ref =
[[http://matrix.skku.ac.kr/sglee/linear/ocu/20403.html]]
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[[WpEn:Inner_product]][[Namu:내적]]
https://everything2.com/title/inner+product
https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Inner_product
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Inner_Product
Compare:
[[외적,outer_product]]
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}[[이항연산,binary_operation]] > [[곱,product]]
[[다변수함수,multivariable_function]]
대략,
두 벡터의 '연관성'correlation?이나 '유사성'similarity과 관련지어 설명된다. // 유사도,similarity. 두 벡터가 얼마나 '닮았나'에 대한?
연산 시 두 벡터의 순서는 상관없다. (내적 연산은 교환법칙,commutativity 성립)
직교할 경우 관련이 없는 것으로, 숫자(내적 결과값)는 0으로, (직교성,orthogonality)
반대 방향이면 음의 관련이 있는 것으로, 숫자는 음수로, ....
CLEANUP
두 벡터의 '연관성'correlation?이나 '유사성'similarity과 관련지어 설명된다. // 유사도,similarity. 두 벡터가 얼마나 '닮았나'에 대한?
연산 시 두 벡터의 순서는 상관없다. (내적 연산은 교환법칙,commutativity 성립)
직교할 경우 관련이 없는 것으로, 숫자(내적 결과값)는 0으로, (직교성,orthogonality)
반대 방향이면 음의 관련이 있는 것으로, 숫자는 음수로, ....
CLEANUP
1. 정의 ¶
에 대하여 실수
을 x와 y의 내적이라 하고
로 나타낸다.
벡터공간,vector_space V의 내적이란 이중선형함수 (bilinear_map ? rel. bilinearity)
〈 , 〉 V × V → ℝ
로서 다음 성질을 가지는 것을 뜻한다.- v, w ∈ V ⇒ 〈v, w〉 = 〈w, v〉
- v ∈ V, v ≠ 0 ⇒ 〈v, v〉 > 0
의 내적이란 두 벡터변수 함수 로서 다음 조건을 만족시키는 것.
1. (양정치) 이고, 일 필요충분조건은
2. (대칭성) 모든 벡터 에 대해
3. (쌍선형 1) 모든 벡터 에 대해 다음이 성립
4. (쌍선형 2) 모든 실수 에 대해 다음이 성립
즉, 내적은 양정치(positive definite)(kms: 양의 정부호)이고 쌍선형(bilinear)(kms: 이중선형의, 쌍선형의)인 대칭(symmetric) 함수.
대칭성,symmetry
(AnamLectureNotesVol1_20200210.pdf)
1. (양정치) 이고, 일 필요충분조건은
2. (대칭성) 모든 벡터 에 대해
3. (쌍선형 1) 모든 벡터 에 대해 다음이 성립
대칭성,symmetry
(AnamLectureNotesVol1_20200210.pdf)
3. 코시-슈바르츠 부등식과의 관련 ¶
에 대해 다음이 성립한다.
단, 등호는 중 하나가 다른 것의 실수배이거나, 둘 중의 하나가 일때 성립한다.
이로부터, 의 0이 아닌 벡터 에 대하여
이므로,
를 만족하는 실수 θ가 단 하나 존재한다.
8. 사영, 정사영과의 관계 ¶
(Fleisch p6 The Dot Product에서:)
The projection of onto :
multiplied by the length of :
gives the dot product
The projection of onto :
multiplied by the length of :
gives the dot product
9. 함수의 내적 ¶
두 함수 가 있다면
로 생각할 수 있고, 그리하여 그 내적은
로 생각할 수 있고, 그리하여 그 내적은
sin과 cos의 내적은 0이 된다.
// tmp from http://kocw.xcache.kinxcdn.com/KOCW/document/2019/chungang/baekchanguk1214/12.pdf def 12.1.1
구간,interval 에서 두 함수 의 내적은
이 식의 값이 0이면, 두 함수는 구간 에서 직교한다(orthogonal). (See 직교성,orthogonality)
구간,interval 에서 두 함수 의 내적은
12. Ref ¶
Twins:
https://planetmath.org/innerproduct
https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Inner_product
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Inner_Product
https://planetmath.org/innerproduct
https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Inner_product
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Inner_Product
Compare:
Up:
{
내적은 두 벡터를 입력하여 하나의 실수를 출력하는 연산
외적은 두 벡터를 입력하여 다른 벡터를 출력하는 연산
(Ivan Savov p212)
}
Up:
{
내적은 두 벡터를 입력하여 하나의 실수를 출력하는 연산
}