소문자 함수
를 대문자 함수
로 바꾼다.
적분변환,integral_transform하여
를
로 바꾼다.
변환 전의 함수는 소문자로, 변환 후의 함수는 대문자로 표현하는 convention이 있다. Ex.
'적분' 변환이니까?
(Zill Definition 4.1.1, Theorem 4.1.1)
표기법
| 원래 함수 | 그 변환 |
변수 | t의 함수 | s의 함수 |
함수명 | 소문자 | 대문자 |
e.g.
F(s)는 f(t)의 변환
Y(s)는 y(t)의 변환
1. 쓰이는 기호들/변수들/domains ... ¶
s : complex frequency domain parameter
그리고 물론 EE에선
허수단위,imaginary_unit로
대신
를 쓰므로
저자 마음이지만, 대체적으로
과
는 같은 것이다
- 전자는 마치 (범함수? 함자? 뭐였지?) 암튼 함수에 대한 함수 형태고(? CHK)
- 후자는 t-domain의 함수 이름을 소문자로, s-domain의 함수 이름을 대문자로 표현하는 convention ?? (chk)
2. unilateral and bilateral ¶
3. Irwin ¶
코사인,cosine함수
의 LT는
pf.
// Src: Basic Engineering Circuit Analysis, Irwin - 13장 Laplace Transform
4. wpen 읽은내용 tocleanup ¶
정의
where
Notation:
대신
를 쓰기도 한다.
라플라스 변환은
선형성,linearity을 만족.
표
함수
와 각각 그
라플라스 변환
에 대해 Properties of the unilateral Laplace transform:
etc.
}
5. tmp from Zach Star youtube; ALSOIN fourier; CLEANUP ¶
┌─────────────────────────────────┐
│ Laplace │
│┌──────────────┐ │
││ Fourier │ │ Fourier변환은 Laplace변환의 ‘slice’
││1) sinusoidal │ 2) exponential │
│└──────────────┘ │
└─────────────────────────────────┘
여기서
x(t) : in
X(ω) : out
Fourier | |
Laplace | |
Laplace에
를 대입하면
그래서,
Laplace transform of
is the
Fourier transform of
// from What does the Laplace Transform really tell us? A visual explanation
https://youtu.be/n2y7n6jw5d0
// Misc.
// 위에 text block은 inline html ( pre padding:0 line-height:1 )
// Q: box drawing character로 편하게 간단한 diagram 그리는 도구 없나?
7. Kreyszig Ch6 Laplace 변환 ¶
Laplace 변환을 써서 ODE를 푸는 3단계
- 주어진 ODE를 보조방정식(subsidiary equation)이라 부르는 대수방정식으로 변환한다.
- 순수한 대수적 연산을 통해 이 보조방정식을 푼다.
- 2단계의 해를 역변환하면 주어진 문제의 해가 된다.
미적분의 문제를 대수적인 문제로 전환하는 종류의 수학은 연산자법(operational calculus)이라고 알려져 있다.
7.1. 6.1 선형성. 제 1이동정리(s-이동) ¶
는 모든
에 대해 정의된 함수.
이것의 Laplace 변환은
와
의 곱을 t=0에서 ∞까지 적분한 것.
그 결과는 s의 함수, 즉
가 되며,
로 표기함. 따라서,
이다.
(명칭)
연산 결과의 함수
를 Laplace 변환이라 부를 뿐만 아니라,
주어진
로부터
를 얻는 방금 설명한 연산도 또한 Laplace 변환이라 부른다.
(중략)
s-이동, 변환에서 s를 s-a로 대체, 제1이동정리(first shifting theorem)
존재성(존재정리 언급). 유일성(uniqueness).