단어/표현
level curve 등위선, 등위곡선, 등고선(등고선은 대개 contour line으로 번역)
level curve 등위선, 등위곡선, 등고선(등고선은 대개 contour line으로 번역)
QQQ:
gradient에 점을 대입하고 unit vector를 내적한 것???
(특정 축,axis 방향으로만 정의되는) 편미분,partial_derivative을 일반화하여 (임의 단위벡터,unit_vector 방향으로의) 도함수...? 편미분의 일반화?
gradient에 점을 대입하고 unit vector를 내적한 것???
(특정 축,axis 방향으로만 정의되는) 편미분,partial_derivative을 일반화하여 (임의 단위벡터,unit_vector 방향으로의) 도함수...? 편미분의 일반화?
참고로 이걸(방향도함수를) 일반화한 Gateaux_derivative가 있음
(정의) 방향도함수
함수 의 단위벡터,unit_vector 방향,direction의 방향도함수(directional derivative)는 다음 극한,limit이 존재할 때
이다.
이것은 편도함수(=편미분,partial_derivative)를 일반화,generalization한 개념이다. 왜냐하면
함수 의 단위벡터,unit_vector 방향,direction의 방향도함수(directional derivative)는 다음 극한,limit이 존재할 때
이것은 편도함수(=편미분,partial_derivative)를 일반화,generalization한 개념이다. 왜냐하면
은 을,
는 을
의미하기 때문이다. // (즉 위에 생각대로, 방향도함수의 축 방향으로의 특수한 경우가 바로 편도함수)는 을
...
방향도함수의 최대와 최소
방향도함수의 최대값은 이고 와 의 방향이 같을 때 발생한다
방향도함수의 최소값은 이고 와 의 방향이 반대일 때 발생한다
방향도함수의 최대값은 이고 와 의 방향이 같을 때 발생한다
방향도함수의 최소값은 이고 와 의 방향이 반대일 때 발생한다
(위 두 식을 다음과 같이 표현할 수 있다:)
기울기벡터,gradient_vector 는 가 가장 급격히 증가하는 방향을 가리키며
는 가 가장 급격히 감소하는 방향을 가리킨다.
(rel. 증감,increment_and_decrement)
기울기벡터,gradient_vector 는 가 가장 급격히 증가하는 방향을 가리키며
는 가 가장 급격히 감소하는 방향을 가리킨다.
(rel. 증감,increment_and_decrement)
(Zill 6e ko p625, 628)
공간상의 점 에서 벡터 방향으로의 함수 의 방향도함수(directional derivative) 또는 는 다음과 같이 정의된다. (그림 참조)
여기서
는 방향으로 직선 위를 움직이는 점이며,
는 점 사이의 거리.
만약는 점 사이의 거리.
가 방향에 위치하면 이며,
가 방향에 위치하면 이고,
이면 이다.
가 방향에 위치하면 이고,
이면 이다.
가 연속인 편도함수를 갖는다고 가정하고, 연쇄법칙,chain_rule을 이용하면
따라서 0이 아닌 임의의 길이를 갖는 벡터 에 대한 방향도함수는
(Kreyszig 10e 번역판 9.7)
(프라임은 s에 관한 도함수를 뜻함)
이 식은 와 의 내적,inner_product이 된다. 즉 가 점 에서의 온도이고
가 점 에서의 온도라면
이며 점 사이의 온도차 는
그런데 이므로 다시 쓰면
각괄호 내의 내용은 벡터로서 gradient of T, T의 기울기,gradient이며 로 표기한다. 그리하여 식을 다시 쓰면
With where is the unit vector of the directional derivative of along is
We can find the difference where and are the values of T at points and not necessarily infinitesimally close to one another, by integrating both sides of Eq (3.73). Thus,
(Ulaby 7e p154-155 eq3.75)
가 점 에서의 온도라면
(3.73)
The symbol ∇ is called the del or gradient operator. (델,del,나블라,nabla)With where is the unit vector of the directional derivative of along is
먼저 기울기,gradient기호 관례
For any unit vector let
if it exists is called directional derivative of at in the direction
그리하여, 방향도함수를 gradient로 나타내면
where
편미분은 x,y(등) 축 방향만으로의 기울기를 알 수 있다면
방향도함수는 임의의 u벡터 방향으로의 기울기를 알 수 있는 이다? CHK
방향도함수는 임의의 u벡터 방향으로의 기울기를 알 수 있는 이다? CHK
2D 평면에서,
편미분,partial_derivative 가 축 방향 변화율, 가 축 방향 변화율(rate of change)이라면
방향도함수를 써서 임의의 방향에 대한 변화율을 생각할 수 있다.
기호 :
벡터 은 변화율을 구하고자 하는 그 방향에 평행. 그 방향과 x축 사이의 각도는 라고 하면
편미분,partial_derivative 가 축 방향 변화율, 가 축 방향 변화율(rate of change)이라면
방향도함수를 써서 임의의 방향에 대한 변화율을 생각할 수 있다.
기호 :
벡터 은 변화율을 구하고자 하는 그 방향에 평행. 그 방향과 x축 사이의 각도는 라고 하면
tmp; Compare:
기울기,gradient:
dir. deriv.:
z=f(x,y)에서
directions of maximum descent/ascent : -∇f, ∇f
max. rate of descent/ascent
기울기,gradient:
directions of maximum descent/ascent : -∇f, ∇f
max. rate of descent/ascent
from src 시작화면
(Q: 곡면,surface등에서?) 편미분,partial_derivative이 특정 축에 평행한 방향으로의 기울기,slope를 구한다면, 방향도함수는 임의의 방향으로의 기울기(slope? 기울기,gradient?) 를 구할 수 있다.
from Dr. Bazett src
tmp from Vector Calculus
If the directional derivative of at along the vector is given by
if this exists.
는 보통 단위벡터,unit_vector로 선택.
If the directional derivative of at along the vector is given by
는 보통 단위벡터,unit_vector로 선택.
또 다른 정의는
CHK
방향도함수와 기울기벡터,gradient_vector
이변수함수 와 단위벡터(방향도함수에는 항상 단위벡터만 써야 한다. 이유는?) 에 대해 방향으로 함수값의 변화율은
이고
를 방향도함수라고 한다. 가 미분가능하면 방향으로의 방향도함수는
이다.
연쇄법칙,chain_rule 언급됨.
기울기벡터: 이변수함수 에 대해 벡터
를 기울기벡터(gradient vector)라 함.
CHK; tmp from http://blog.naver.com/mindo1103/90103573706
변수함수 의 gradient:
단위벡터 방향의 방향도함수
tmp from http://contents.kocw.net/KOCW/document/2015/hanyang_erica/kimeunsang/7-2.pdf
directional derivative of in the direction of at
(O'Neil AEM 7e 앞부분 표기법 안내)
기울기,gradient와의 관계
전제:
가 에서부터 방향으로 변할(갈) 때 의 변화율,rate_of_change(curr. see 비율,rate)을 측정하고 싶다.
이를 위해 을 가정하면 점 는 가 변함에 따라 에서 곧게 뻗어나가는 선 위에 있다.
가 에서부터 방향으로 변할(갈) 때 의 변화율,rate_of_change(curr. see 비율,rate)을 측정하고 싶다.
이를 위해 을 가정하면 점 는 가 변함에 따라 에서 곧게 뻗어나가는 선 위에 있다.
의 점 에서 방향으로의 변화율 을 측정하려면 다음을 계산.
(i.e.) is the directional derivative of Φ at P0 in the direction of u.
그러면 는 에서 방향으로의 의 방향도함수이다.
(i.e.) is the directional derivative of Φ at P0 in the direction of u.
번역틀릴수있음. CHK
(O'Neil AEM 7e p357)
(O'Neil AEM 7e p357)
개념 설명은 기울기,gradient#s-3의 Sadiku 섹션에도 있음.
TOLINK:
기울기,gradient,편미분,partial_derivative이 필수개념임.. 기타 관계는?
기울기벡터,gradient_vector (curr. goto 벡터,vector) 와 밀접!?
기울기,gradient,편미분,partial_derivative이 필수개념임.. 기타 관계는?
기울기벡터,gradient_vector (curr. goto 벡터,vector) 와 밀접!?
related concepts? ¶
일반화: Gateaux_derivative
https://ncatlab.org/nlab/show/directional derivative - AKA Gâteaux derivative
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Gateaux_derivative
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Gateaux_derivative
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Directional Derivatives and the Gradient https://youtu.be/TNwHXWApyH4