Boolean algebra:
(B, 0, 1, +, ·,여기서
B = { TBW
0 : zero
1 : unit
+ : 합,sum
· : 곱,product (이상 두 개의 binary operators)
' : complementation (하나의 unary operator)
TODO proofwiki boolean algebra (맨밑에 있) definition of boolean algebra0 : zero
1 : unit
+ : 합,sum
· : 곱,product (이상 두 개의 binary operators)
' : complementation (하나의 unary operator)
집합 {0, 1} 또는 {false, true}에 대한 ? CHK
그 연산들은
그 연산들은
chk/del
x+0=x
x+1=1
x+x=x
x+x̄=1
x·0=0
x·1=x
x·x=x
x·x̄=0
x·(y+z)=(x·y)+(x·z)
x+(y·z)=(x+y)·(x+z)
교환법칙1 x+y=y+x
교환법칙2 x·y=y·x
드모르간법칙1 (x+y)'=x̄·ȳ
드모르간법칙2 (x·y)'=x̄+ȳ
x+0=x
x+1=1
x+x=x
x+x̄=1
x·0=0
x·1=x
x·x=x
x·x̄=0
x·(y+z)=(x·y)+(x·z)
x+(y·z)=(x+y)·(x+z)
교환법칙1 x+y=y+x
교환법칙2 x·y=y·x
드모르간법칙1 (x+y)'=x̄·ȳ
드모르간법칙2 (x·y)'=x̄+ȳ
논리합,logical_sum /// mv to 불_논리,Boolean_logic??
{
0+0=0
1+1=1 이것은 일반적 algebra/arithmetic에선 성립하지 않지만 여기선 성립.
{
0+0=0
1+1=1 이것은 일반적 algebra/arithmetic에선 성립하지 않지만 여기선 성립.
Boolean algebra의 기본 법칙들:
pf.
A+B·C
=A·(1+B+C)+B·C
=A·A+A·B+A·C+B·C
=(A+B)·(A+C)
A+B·C
=A·(1+B+C)+B·C
=A·A+A·B+A·C+B·C
=(A+B)·(A+C)
이중 보수의 법칙 (aka 이중 부정의 법칙) (rel. double_negation과 비슷?) involution involution involution involution
A''=A
A''=A
첫번째 pf.
A+A·B = A·(1+B) = A·1 = A
A+A·B = A·(1+B) = A·1 = A
Sub:
시그마대수,sigma-algebra (σ-algebra)
complete_Boolean_algebra - writing, curr see Complete_Boolean_algebra 완비_불_대수
complete Boolean algebra
완비 불 대수
Complete Boolean algebra
complete Boolean algebra
완비 불 대수
Complete Boolean algebra
two-element_Boolean_algebra
two-element Boolean algebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Two-element_Boolean_algebra
two-element Boolean algebra
two-element Boolean algebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Two-element_Boolean_algebra
two-element Boolean algebra
1. tmp ¶
P+QR≡(P+Q)(P+R)
'또는 참'이 적용되면 항상 참
a or true == true
a or true == true
and와 or은 서로 distributive (See 분배법칙,distributivity) -- 수의 분배법칙과 다름.
이걸 뭐라고 하지?
not (not a) == a
not (not a) == a
de Morgan's laws
not (a or b) == (not a) and (not b)
not (a and b) == (not a) or (not b)
not (a or b) == (not a) and (not b)
not (a and b) == (not a) or (not b)
2. 연산,operation ¶
0 | zero |
1 | unit |
+ | sum |
· | product |
' | complementation |
연산이 만족하는 성질
commutativity 교환법칙,commutativity
a + b = b + a
a · b = b · a
associativity 결합법칙,associativitya · b = b · a
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)
distributivity 분배법칙,distributivity(x · y) · z = x · (y · z)
x + (y · z) = (x + y) · (x + z)
x · (y + z) = (x · y) + (x · z)
identity 항등원,identity_elementx · (y + z) = (x · y) + (x · z)
x + 0 = x
x · 1 = x
complementx · 1 = x
x + x' = 1
x · x' = 0
x · x' = 0
2.1. short-circuit evaluation ¶
{
AKA minimal evaluation, McCarthy evaluation
AKA minimal evaluation, McCarthy evaluation
리스프,Lisp의 경우 and와 or연산자가 short-circuit evaluation을 하며
예:
operator | returns |
and | first nil argument |
or | first non-nil argument |
예:
(or (and "zero" nil "never") "James")will evaluate to "James".
5. duality ¶
LinkLater
불_논리,Boolean_logic 및 논리,logic(학)과 '정확한' 관계 tbw.
불_값,Boolean_value {
{ // RR: 불_식,Boolean_expression
Boolean expression
불_논리,Boolean_logic 및 논리,logic(학)과 '정확한' 관계 tbw.
불_값,Boolean_value {
Either true or false. 참,true 또는 거짓,false.
MKL 진리값,truth_value(본질은 같은데, 뉘앙스/usage 차이인가? 명확히.) Boolean_data_type
Up: 값,value
"Boolean value" Boolean value }
Boolean_data_type {MKL 진리값,truth_value(본질은 같은데, 뉘앙스/usage 차이인가? 명확히.) Boolean_data_type
Up: 값,value
"Boolean value" Boolean value }
불_자료형 or 불_자료타입 ?
Boolean data type
Boolean_data_type x (2023-12)
불리언_자료형
Boolean_data_type
Boolean_data_type
Up: 타입,type or data_type
"Boolean data type" Boolean data type } // Boolean data type
Boolean_domain {Boolean data type
Boolean_data_type x (2023-12)
불리언_자료형
Boolean_data_type
Boolean_data_type
Up: 타입,type or data_type
"Boolean data type" Boolean data type } // Boolean data type
Boolean domain
REL: GF(2) { GF(2) 이거 2023-12 현재 구글 검색결과가 네이버보다 월등히 낫다. GF(2) GF(2) ... GF는 유한체,finite_field=갈루아_체,Galois_field }
Boolean_domain x (2023-12)
Boolean_domain
"Boolean domain" Boolean domain
Up: 정의역,domain? }
불_식,Boolean_expressionREL: GF(2) { GF(2) 이거 2023-12 현재 구글 검색결과가 네이버보다 월등히 낫다. GF(2) GF(2) ... GF는 유한체,finite_field=갈루아_체,Galois_field }
Boolean_domain x (2023-12)
Boolean_domain
"Boolean domain" Boolean domain
Up: 정의역,domain? }
{ // RR: 불_식,Boolean_expression
Boolean expression
Boolean_algebra_expression(이거랑 syn?) 을 간단히 하는 방법 : Karnaugh_map { Karnaugh_map ... 카르노맵 카르노맵 Up: 맵,map? 단순화,simplification(writing) ... ~= reduction? }
"Boolean expression"
Boolean expression
} // Boolean expression
불_함수,Boolean_function - writing
조합논리,combinational_logic
불_환,Boolean_ring(writing)
Boolean expression
} // Boolean expression
불_함수,Boolean_function - writing
조합논리,combinational_logic
불_환,Boolean_ring(writing)
Boolean algebra는 Boolean ring과 비슷하지만 덧셈과 곱셈 연산자 대신 meet와 join 연산자를 사용해 정의된 것. (mw 첫문장) // meet_operator join_operator
Boolean_differential_calculus {Boolean differential calculus (BDC)
Boolean_differential_calculus
Up: 미분학,differential_calculus { 미분법 or 미분학 due to differential calculus \ differential_calculus \ differential_calculus }
"Boolean differential calculus"
Boolean differential calculus
}
.... 기타 다양한 topics: List_of_Boolean_algebra_topics / Talk:List_of_Boolean_algebra_topicsBoolean_differential_calculus
Up: 미분학,differential_calculus { 미분법 or 미분학 due to differential calculus \ differential_calculus \ differential_calculus }
"Boolean differential calculus"
Boolean differential calculus
}
6. History ¶
1854년 George Boole이 논리,logic를 체계적으로 다루기 위해 ... [1] 여기선 기호논리,symbolic_logic = Boolean_algebra. (근데 보통 기호논리 = 수리논리. see 수리논리,mathematical_logic 아랫부분에 AKA)
7. bmks ¶
Up:
Twins:
http://foldoc.org/Boolean algebra
https://mathworld.wolfram.com/BooleanAlgebra.html
https://everything2.com/title/Boolean algebra
Boolean_algebra
https://plato.stanford.edu/entries/boolalg-math/ (The Mathematics of Boolean Algebra)
(다음 step은 lattice 관점까지 포함한?)
불_대수
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Boolean_algebra - Boolean lattice
Boolean_algebra_(structure) - or Boolean_lattice
Twins:
http://foldoc.org/Boolean algebra
https://mathworld.wolfram.com/BooleanAlgebra.html
https://everything2.com/title/Boolean algebra
Boolean_algebra
https://plato.stanford.edu/entries/boolalg-math/ (The Mathematics of Boolean Algebra)
(다음 step은 lattice 관점까지 포함한?)
불_대수
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Boolean_algebra - Boolean lattice
Boolean_algebra_(structure) - or Boolean_lattice
Boolean lattice는 complemented_lattice 이며 distributive_lattice 이다.
(See 격자,lattice - 순서론,order_theory의 격자 - curr at 순서,order ....모두 writing)
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Boolean_Algebra(See 격자,lattice - 순서론,order_theory의 격자 - curr at 순서,order ....모두 writing)