수열 는
자연수,natural_number 집합으로부터 임의의 집합
로 가는 함수
(이것은 항상 수는 아니므로 열이 더 어울릴 수도 있는)
또는 실수의 집합으로 가는 함수
(이 경우에는 분명 수열)
정의역,domain이 whole numbers {0, 1, 2, 3, …}일 때 함수값의 집합(
순서집합,ordered_set??) {f(0), f(1), f(2), f(3), …}.
유한수열
표기:
무한수열 표기:
문맥을 보아 확실하면 이렇게 줄임:
(Modern Engineering Math 5e James)
항 term -
항,term
일반항 general term -
일반항,general_term :
번째 항
An infinite list of numbers
: the first term
: the second term
: the general term
함수이지만
표기법,notation으로 subscript notation을 많이 씀.
(subscript)
(function notation)
?
Related, Topics:
Sub:
정수열,integer_sequence -
정수,integer 값 수열
복소수열 -
복소수,complex_number 값 수열 \
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Complex_Sequence
... (이런
값,value의
타입,type에 따른(i.e.
공역,codomain에 따른) 분류 가능)
등차수열,arithmetic_sequence
기하수열,geometric_sequence (= 등비수열)
조화수열,harmonic_sequence
피보나치_수열,Fibonacci_sequence
콜라츠_수열,Collatz_sequence
부분수열,subsequence
유한수열,finite_sequence
무한수열,infinite_sequence
코시_수열,Cauchy_sequence - chk backlink.
실수,real_number의
완비성,completeness 관련?
소수열
이건 뜻이 ... 1. 소수를 모두 나열한 2. 소수 중 일부를 나열한 ..그럼
부분수열,subsequence?? 이렇게 둘? chk
아래 Euclid-Mullin이 여기 속함
Beatty_sequence
cyclic_sequence
polynomial_sequence 다항식열?
// 이하 '수'의 sequence가 아니라
범주론,category_theory(
범주,category theory),
추상대수,abstract_algebra의
대상,object의
sequence 얘기
exact_sequence
2. 제목에 대해 ¶
사실 '수열'에 정확히 해당되는 영어 표현은 sequence of numbers이다. (열=列=sequence)
그러고보니 '문자열' - 'string'에도 비슷한 번역 문제가 있다. 한국어 '수열'에는
수,number가, '문자열'에는
문자,character가 명시되지만, 영단어 sequence와 string은 '수'와 '문자'에만 쓰일 수 있는 것이 아니다.
한국어 번역과는 달리 각 항목이 꼭
수,number일 필요는 없다. '열'이나 '시퀀스'로 별도 페이지 만들고 그것의 sub가 여기(수열)로 처리될지도?
순서가 있는 1D 무언가는 모두 sequence이므로 나중에 별도 페이지가 필요하다.
3. 수열의 극한의 정의, 수열의 수렴의 뜻, 수열의 발산의 뜻 ¶
(
이 무한으로 갈 때, )
수열이 특정한 값
로 수렴한다는 것
은,
모든 양의 실수
에 대해, 그에 대응하는 다음과 같은 정수
이 존재한다는 것.
if
then
i.e.
...("
이
로 수렴한다. ")
⇔
such that
이 존재할 때,
은 수렴한다고 한다.
수렴하지 않는 경우엔 발산한다고 한다.
수열이 무한대로 발산한다는 것
은,
모든 양의 정수
에 대해, 다음과 같은 정수
이 존재한다는 것.
if
then
i.e.
5. 수열의 합 ¶
너무 유명한
같은 건 생략했고
무한이 나오면...
수열
이 있을 때,
으로 정의되는 수열
을
의 계차수열이라 함. 이 때의 성질:
7. 증가수열, 감소수열, 단조수열 ¶
수열
에 대해,
이면 증가수열, 특히
이면 순증가수열,
이면 감소수열, 특히
이면 순감소수열이라고 한다.
위 네 가지 경우를 단조수열(monotone sequence)이라고 한다.
단조증가수열 monotone increasing sequence
단조감소수열 monotone decreasing sequence
단조수열 monotone sequence : 단조증가수열과 단조감소수열을 합해 단조수열이라 부름
(강우석 2021-05-10 20m)
8. 유계, 유계수열, bounded_sequence ¶
(1)
을 만족하는 실수
이 존재하면 수열
을 위로 유계(bounded above)라고 한다.
(2)
을 만족하는 실수
이 존재하면 수열
을 아래로 유계(bounded below)라고 한다.
(3)
을 만족하는 양수
이 존재하면 수열
을 유계수열(bounded sequence)이라고 한다.
정의:
모든
에 대하여
을 만족하는 실수
이 존재하면 수열
은
위로 유계라 한다.
모든
에 대하여
을 만족하는 실수
이 존재하면 수열
은
아래로 유계라 한다.
위로 유계이고 동시에 아래로 유계인 수열을
유계라 한다. (
유계수열)
(차영준)
Ex.
: 아래로 유계임, 위로는 유계 아님
: 유계임 ∵
9. 단조수렴정리 ¶
아래로 유계인 감소수열과 위로 유계인 증가수열은 수렴한다.
10. (고딩) 풍산자에서. 점화식에서 수열의 일반항 구하기 인가? ¶
꼴 문제는
를 만족하는 문제만 제시됨.
중간항을 쪼개면
따라서, 항상
꼴로 변형하는 것이 가능.
만약 위
를 만족하지 않으면? ex.
의 일반항은? 고난도. 출제가능성 희박. 하지만 방법 있음
꼴 점화식의 일반 해법
1단계
의 두 근을 구한다.
라 하자.
(1) 중근이 아니면
으로 둔다.
(2) 중근이면
으로 둔다.
2단계
초기 조건을 이용해
를 구한다.
중근인 경우는 고난도 중 고난도이므로 결국
으로 둔다고 보면 된다.
11. 유클리드-뮬린(Mullin) 수열 Euclid-Mullin sequence ¶
14. Etc, misc ¶
시퀀스
영단어 sequence에는 순서라는 뜻도 있음. rel.
순서,order