접평면,tangent_plane

$z-f(a,b)=f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$

$z-z_0=\left({\partial f \over \partial x}\right)(x-x_0)+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(y-y_0)$


(MathWorld) 곡면,surface 함수 $z=f(x,y)$ 위의 임의의 점 $(x_0,y_0)$ 가 있으면, 곡면은 $(x_0,y_0)$ 에서 다음 방정식으로 주어지는 곡면과? 수직이 아닌(nonvertical) 접평면 하나를 가진다.
$z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$


$f$ 가 연속인 편도함수(=편미분,partial_derivative)를 갖는다고 가정하자.
$P(x_0,y_0,z_0)$ 에서 곡면,surface $z=f(x,y)$ 에 대한 접평면의 방정식은 다음과 같다.
$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$
다음 접선,tangent_line의 방정식과 비슷함에 유의.
$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

(이어서 접평면근사,tangent_plane_approximation, curr at 선형근사,linear_approximation#multivariable case - 설명함.)
$(a,b,f(a,b))$ 에서 이변수함수 $f$ 의 그래프에 대한 접평면의 방정식은 다음과 같다.
$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

(Stewart 8e ko p769-771)


Let $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ be differentiable at $\vec{x_0}=(x_0,y_0).$
The plane in $\mathbb{R}^3$ defined by the equation
$z=f(x_0,y_0)+\left[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\right](x-x_0)+\left[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right](y-y_0)$
is called the tangent plane of the graph of $f$ at the point $(x_0,y_0,f(x_0,y_0)).$

(Vector Calculus 6e (2012))


등위곡면에 대한 접평면

$P(x_0,y_0,z_0)$ 에서 등위곡면,level_surface $F(x,y,z)=k$ 에 대한 접평면:
$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$

P를 지나고 접평면에 수직인 직선을 P에서 곡면 S에 대한 법선,normal_line (? 원문?) -> The normal line to S at P is the line passing through P and perpendicular to the tangent plane. The direction of the normal line is therefore given by the gradient vector $\nabla F = (x_0, y_0, z_0)$ and so, by Equation 12.5.3, its symmetric equations are
$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$

(Stewart)


등위곡면 $F(x,y,z)=k$ 위의 점 $P(x_0,y_0,z_0)$ 에서의 접평면의 방정식은
$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$
이고, 법선,normal_line의 방정식은
$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$
이다.

곡면 $S$$z=f(x,y)$ 형태, 즉 곡면 $S$ 가 이변수함수 $f$ 의 그래프로 주어진 경우에, 곡면 $S$ 위의 점 $P(x_0,y_0,z_0)$ 에서의 접평면의 방정식은
$f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) - (z-z_0) = 0$
이고, 법선의 방정식은
$\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)} = \frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)} = \frac{z-z_0}{-1}$
이다.



등위곡면,level_surface $F(x,y,z)=c$ 상의 점 $(x_0,y_0,c_0)$ 에서의 접평면의 방정식:
$\left[ (x,y,z) - (x_0,y_0,z_0) \right] \cdot \nabla f(x_0,y_0,z_0) = 0$
i.e.
$F_x(x_0,y_0,z_0)\cdot(x-x_0) + F_y(x_0,y_0,z_0)\cdot(y-y_0) + F_z(x_0,y_0,z_0)\cdot(z-z_0) = 0$

cf. 그리고 법선의 방정식은
$(x,y,z)-(x_0,y_0,z_0) \; /\!\!/ \; \nabla F(x_0,y_0,z_0)$
i.e.
$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)} = \frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)} = \frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$
매개변수 표현:
$(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t\cdot\nabla F(x_0,y_0,z_0)$

(이 방식이 이해하기 가장 쉬운 듯)

// from http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=732551 4. 방향미분과 gradient, 극대, 극소 / 47m


QQQ '접촉평면'은 어떻게 다른 것? Google:접평면 접촉평면 Google:tangent.plane osculating.plane difference
QQQ 혹시 매끄러운 곡면,surface 위의 한 점,point에서만 정의되나? cusp, singularity 이런데선 당연히 안 될 것 같은데. CHK


$z_0=f(x_0,y_0)$ 를 지나고 $z=f(x,y)$ 를 스치는 평면,plane은? - CHK

전제: $P_0(x_0,y_0,z_0),\quad P(x,y,z)$
평면의 방정식:
$\vec{n}\cdot\vec{P_0P}=0$
$a(x-x_0)+b(y-y_0)=c(z-z_0)=0$

이하 선형근사,linear_approximation 관련 얘기가 나오는데 안 적음..
관련된것임
찾아보니 전미분도 관련.





AKA tangential plane

Compare:
// 다음 4개는 이름의 차원,dimension순인데 구체적으로 어떤 관계인지? tbw
접점,tangent_point - 이건 아래 선/평면에 비해 잘 안 쓰이는 표현...? Google:tangent.point .... Google:접점 Naver:접점
이건 분명 Srch:logical_conjunction, AND 와도 밀접한데... chk later
// kms 접점 => https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=kname&keyword=접점
// QQQ kms osculat => https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=osculat ...을 보면 osculating_point의 번역은 '접촉점' ??? TBD and MKLINK
접선,tangent_line
접평면,tangent_plane
접공간,tangent_space - 접다발의 올,fiber chk

접벡터,tangent_vector
접다발,tangent_bundle

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