좌표계,coordinate_system

좌표계,coordinate_system (rev. 1.89)
잡다 노트: RR:좌표coordinate

좌표,coordinate 로 옮길까???

Sub:
orthogonal coordinate system (좌표축이 서로 수직인 좌표계. 직교좌표계라고 번역할 수 있으나 이 때는 rectangular(=Cartesian)하고 혼동하지 말아야 함.)
3D 직교좌표계,rectangular_coordinate_system (Cartesian) 좌표계,coordinate_system#s-2.1 (직각)
3D 원통좌표계,cylindrical_coordinate_system 좌표계,coordinate_system#s-2.2
3D 구면좌표계,spherical_coordinate_system 좌표계,coordinate_system#s-2.3 (구)
// 기타: 타원 원통, 포물선 원통, 원뿔, 편장구면, 편원구면, 타원형 (이게 다 뭐람.. from Sadiku)
nonorthogonal coordinate system (힘듦)
curvilinear coordinate 곡선좌표계 (curvilinear adj. 곡선으로 이루어진) WpEn:Curvilinear_coordinates WpKo:곡선좌표계 https://mathworld.wolfram.com/CurvilinearCoordinates.html
좌표계변환 or 좌표변환 좌표변환,coordinate_transformation
관련: 야코비안,Jacobian

2D 극좌표계,polar_coordinate_system, 극좌표,polar_coordinate는 어디에 분류?


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1. basic facts


일단 점을 P라 하고,
가운데에는 원점,영점,origin O(0,0)

축,axis.... 이름은 로마자 마지막 글자인
x축, y축, z축
원점에서 뻗어나감

거리,distance?
{
r - 원점에서부터 점 P까지의 거리
2D 좌표일 때: (0, 0)에서부터의 거리
3D 좌표일 때: (0, 0, 0)에서부터의 거리, 구의 반경
ρ
원점에서 뻗어나감

범위는 $[0,\infty)$
}

각,angle
{
θ (2D 극좌표에서)
φ (3D 원통, 구면 좌표에서)
azimuth, azimuthal angle, 방위각
x축으로부터 시작하여 처음에 y축 방향으로 향함. P의 xy평면 위의 (정사영? 그림자? 발?) 로 향함

θ (3D 구면 좌표에서)
천정각(zenith angle)
z축으로부터 시작, z축과 P의 위치벡터의 사이 각

방위각 φ 범위는 $[0,2\pi)$
천정각 θ 범위는 $[0,\pi]$ (파이를 포함해야 하는 것에 주의)
}

원통좌표계 (ρ, Φ, z)
{

}

구좌표계 (r, θ, Φ)
{
r
θ 천정각 zenith angle
Φ
}

2D에서는 사분면,quadrant .. 이름은 1~4사분면
3D에서는 팔분공간,octant

그래프,graph는 식을 만족하는 점,point의 집합,set
가령 이차원에서 $\left{(x,y)\middle|f(x,y)=0\right}$

영단어

axis 축
x-axis, horizontal axis
y-axis, vertical axis
axes 축들(axis의 복수형)
origin 원점
quadrant 사분면
quadrant I, quadrant II, quadrant III, quadrant IV
coordinate 좌표
ordered pair(순서쌍)로 나타남
abscissa 점의 x좌표
ordinate 점의 y좌표

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2. 여러 가지 좌표계의 분류 시도


직교좌표계(rectangular coordinate system)
원통좌표계(cylindrical coordinate system) - cylinderical가 아니다.
구면좌표계(spherical coordinate system)



2D 평면,plane
2D 직교좌표계
2D 극좌표계
3D 공간,space
3D 직교좌표계
3D 극좌표계 - 원통? 원통+구면?
원통좌표계
구면좌표계

2D ordered pair 사분면,quadrant
3D ordered triple 팔분공간,octant WpEn:Octant_(solid_geometry)

fork to

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2.1. 직교

직교좌표계,rectangular_coordinate_system
{
기호
2차원의 경우 $(x,y)$
3차원의 경우 $(x,y,z)$

원통좌표계,cylindrical_coordinate_system(ρ, φ, z)에서 직교좌표계로 변환
$x=\rho\cos\phi$
$y=\rho\sin\phi$
$z=z$

구면좌표계,spherical_coordinate_system(r, θ, φ)에서 직교좌표계로 변환
$x=r\sin\theta\cos\phi$
$y=r\sin\theta\sin\phi$
$z=r\cos\theta$

AKA 카테시안 좌표계, 데카르트 좌표계, Cartesian coordinate system, 직각좌표계
Twins: WpEn:Cartesian_coordinate_system
}

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2.2. 원통

원통좌표계,cylindrical_coordinate_system
{
평면 극좌표계,polar_coordinate_system에 높이를 더한 것
한 축을 중심으로 대칭성을 갖는 경우에 유용

기호
(ρ, φ, z)
$(\rho,\phi,z)$

각 변수의 범위:
0 ≤ ρ < ∞
0 ≤ φ < 2π
-∞ < z < ∞
i.e.
$0 \le \rho < \infty$
$0 \le \phi < 2\pi$
$-\infty < z < \infty$

$x=\rho\cos\phi$
$y=\rho\sin\phi$
$z=z$

$\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\textrm{constant cylinder}$
$\phi=\tan^{-1}\left({y \over x}\right)=\textrm{constant plane}$
$z=\textrm{constant plane}$


변환

직교좌표계,rectangular_coordinate_system(x, y, z)에서 원통좌표계로 변환
$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$
$\phi=\tan^{-1}\frac{y}{x}$
$z=z$

구면좌표계,spherical_coordinate_system(r, θ, φ)에서 원통좌표계로 변환
TBW

$\hat{\rho}\cdot\hat{\rho}=\hat{\phi}\cdot\hat{\phi}=\hat{z}\cdot\hat{z}=1$
$\hat{\rho}\times\hat{\rho}=\hat{\phi}\times\hat{\phi}=\hat{z}\times\hat{z}=0$

right-handle cyclic relations of base unit vectors
$\hat{\rho}\times\hat{\phi}=\hat{z}$
$\hat{\phi}\times\hat{z}=\hat{\rho}$
$\hat{z}\times\hat{\rho}=\hat{\phi}$

from Ulaby 5e; r을 rho로 바꿈; CHK


AKA 원주좌표계
Twins:
WpKo:원통좌표계
}

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2.3. 구면

구면좌표계,spherical_coordinate_system
{
구,sphere대칭 구조를 다룰 때 적합

기호
(r, θ, φ)
$(r,\theta,\phi)$

r: 거리, (원점에 중심을 둔 구의) 반경(=반지름, radius)
θ: 천정각(zenith angle), z축과 P의 위치벡터(r) 사이의 각
φ: 방위각(azimuth), x축으로부터 측정되는 각

0 ≤ r < ∞
0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ φ < 2π

θ는 z축부터의 각도이며,
0≤θ≤π 인가? Yes.
0≤φ≤2π ? <2pi.

θ가 일정하면 conical surface? CHK

https://i.imgur.com/Hc720UZ.png


r radial distance
θ polar angle, zenith angle?
φ azimuthal angle

zenith=천정, azimuth=방위각.
θ는 위도,latitude
φ는 경도,longitude 와 비교됨??
원통좌표계에서 알아봤듯 다음이 성립함
$x=\rho\cos\phi$
$y=\rho\sin\phi$
그리고
$\rho=r\sin\theta$
임 CHK
그래서 구면좌표계에서는 ,
$x=\rho\cos\phi=r\sin\theta\cos\phi$
$y=\rho\sin\phi=r\sin\theta\sin\phi$
$z=r\cos\theta$
구면좌표계로 변환

직교좌표계,rectangular_coordinate_system(x, y, z)에서 구면좌표계로 변환
$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
$\theta=\tan^{-1}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}=\cos^{-1}\frac{z}{r}$
$\phi=\tan^{-1}\frac{y}{x}$

$\theta=\cos^{-1}\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ CHK (4-22 at [https]src)

원통좌표계,cylindrical_coordinate_system(ρ, φ, z)에서 구면좌표계로 변환
$r=\sqrt{\rho^2+z^2}$
$\theta=\tan^{-1}\frac{\rho}z=\cos^{-1}\frac{z}{\sqrt{\rho^2+z^2}}$
$\phi=\phi$

구면좌표계에서 변환

(주의: 여기선 r대신 rho 사용)
구면좌표,spherical_coordinate $(\rho,\theta,\phi)$ 를 직교좌표,rectangular_coordinate $(x,y,z)$ 로 변환
$x=\rho\sin\phi\cos\theta$
$y=\rho\sin\phi\sin\theta$
$z=\rho\cos\phi$
또한
$x^2+y^2+z^2=\rho^2$
$dV=(\rho\sin\phi d\theta)(\rho d\phi)(d\rho)=\rho^2 \sin\phi d\rho d\theta d\phi$
from https://www.youtube.com/watch?v=0Ymw20wa5Ys

구면좌표,spherical_coordinate ()를 원통좌표,cylindrical_coordinate ()로 변환
$\rho=$
$\phi=$
$z=$

구면좌표계의 미소체적/미소부피

$dV=(dr)(rd\theta)(\rho d\phi)$
$=(dr)(rd\theta)(r\sin\theta d\phi)$
$=r^2\sin\theta dr d\theta d\phi$

부피는 삼중적분
$V=\iiint_V dV=\iiint_V r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi$

from '부피의 미분소' See 4-23 and 그림4-10 at [https]src
from Ulaby 5e 3-2.3
r, theta, phi obey the following right-hand cyclic relations:
$\hat{r}\times\hat{\theta}=\hat{\phi}$
$\hat{\theta}\times\hat{\phi}=\hat{r}$
$\hat{\phi}\times\hat{r}=\hat{\theta}$

AKA 구좌표계

Twins:
WpKo:구면좌표계
}


[edit]

3. basics, 기호

Stewart? Ulaby
rectangular x y z x y z
cylindrical ρ φ z r φ z
spherical r θ φ R θ φ

표
거리는 크기, 각은 방향
rect 크기 크기 크기
cyli 크기 방향 크기
sphe 크기 방향 방향
왜 이걸 제때 알려주지 않지?

Ulaby 5e에 따르면
ρ : radial distance (in the x-y plane)
φ : azimuth angle (measured from the positive x-axis)
r : range coordinate, 구의 반지름
θ : zenith angle (measured from the positive z-axis; describes a conical surface with its apex(꼭대기/정점) at the origin)


see WpEn:Orthogonal_coordinates#Table_of_orthogonal_coordinates
Google:scale.factor coordinate
scale factor는
h1 h2 h3
rect 1 1 1
cyli 1 r 1
sphe 1 r rsinθ
근데 주의!! 가운데 단 하나만 다른 (r -> rho)
h1 h2 h3
rect 1 1 1
cyli 1 ρ 1
sphe 1 r rsinθ
것도 있는데, 이건 또 뭔지... src: 전기자기학04.pdf
{
$d\vec{L}=\hat{L}dL$
$=dx \hat{x}+dy \hat{y }+dz\hat{z}$ (직각)
$=d\rho\hat{r}+\rho d\phi \hat{\phi }+dz\hat{z}$ (원통)
$=dr \hat{r}+r d\theta\hat{\theta}+r\sin\theta d\hat{\phi}$ (구)
// 이 파일이 좀 ... 표기가(문자선택이)... 그런듯 2행 1열 r이 rho의 오타인지도 불확실
x y z
r φ z
r θ φ ????
}
CHK


델,del,나블라,nabla#s-2#(여러 좌표계에서) 에도 같은 내용 있음


[edit]

4. 관련 표현

직교하는(orthogonal, perpendicular)


[edit]

5. 2차원 직교좌표계 (x, y)

가로축 = 횡축 = abscissa = horizon axis = x axis
세로축 = 종축 = ordinate = vertical axis = y axis

[edit]

6. 2차원 극좌표계 (r, θ)


성질

(a, α) = (a, 2nπ+α) = (-a, 2nπ+π+α)
$(a,\alpha)=(a,2n\pi+\alpha)=(-a,2n\pi+\pi+\alpha)$




}



[edit]

7. 3차원 직교좌표계

[edit]

8. 원통좌표계

[edit]

9. 구면좌표계

q: 원통,구면 두개가 극좌표계?


[edit]

10. 좌표 변환 coordinate transformation


[edit]

10.1. 2차원 (평면) 좌표 변환


[edit]

10.2. 3차원 (공간) 좌표 변환


[edit]

10.2.1. 직교 ↔ 원통 변환


3:3 이 아니라 2:2 mapping이다.
$x+iy=\rho e^{i\phi}$

$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$
$\phi=\tan^{-1}\frac{y}{x}$

$x=\rho\cos\phi$
$y=x\sin\phi$

$\hat{\rho},\hat{\phi}$ 는 위치마다 변하는 단위벡터란다 (?)
바로 아래 unit vector 표기 생략되어있음
$\vec{a_\rho}\cdot\vec{a_x}=\cos\phi$
$\rho\cdot y = \cos(\frac{\pi}{2}-\phi)=\sin\phi$
$\rho\cdot z=0$
$\rho\cdot x = \cos(\frac{\pi}{2}+\phi)=-\sin\phi$
$\rho\cdot y=\cos\phi$
...........이것들은 복잡하므로 내적표를 만든다.........
· $\vec{x}$ $\vec{y}$ $\vec{z}$
$\vec{\rho}$ $\cos\phi$ $\sin\phi$ $0$
$\vec{\phi}$ $-\sin\phi$ $\cos\phi$ $0$
$\vec{z}$ $0$ $0$ $1$
코 사 마사 코
코 싸 마싸 코

이상 [http]src 1강 뒷부분; CHK

CLEAN
{
(x, y, z)
(ρ, φ, z)

z는 그대로다. 2:2 mapping이다..

A = x+jy = ρejφ
로 변환할 수 있다 카더라....

$\rho=\sqrt{x^2+y^2},\; \phi=\tan^{-1}\frac{y}{x}$
$x=\rho\cos\phi,\; y=x\sin\phi$
인지 chk

좌표 변환에 쓰이는 벡터 내적 표
· x y z
$\rho$cos sin 0
$\phi$-sin cos 0
z 0 0 1
? CHK
}

[edit]

10.2.1.1. 직교→원통, (x,y,z)→(ρ,Φ,z)

$(x,y,z)\to(\rho,\phi,z)$

==== 원통 → 직교 (ρ,Φ,z)→(x,y,z)====
$(\rho,\phi,z)\to(x,y,z)$

[edit]

10.2.2. 직교 ↔ 구면 변환


· $\vec{x}$ $\vec{y}$ $\vec{z}$
$\vec{r}$ $\sin\theta\cos\phi$ $\sin\theta\sin\phi$ $\cos\theta$
$\vec{\theta}$ $\cos\theta\cos\phi$ $\cos\theta\sin\phi$ $-\sin\theta$
$\vec{\phi}$ $-\sin\phi$ $\cos\phi$ $0$
CHK

[edit]

10.2.2.1. 직교 → 구면

$(x,y,z)\to(r,\theta,\phi)$

[edit]

10.2.2.2. 구면 → 직교

$(r,\theta,\phi)\to(x,y,z)$

[edit]

10.2.3. 원통 ↔ 구면 변환

CLEAN
{
(ρ, φ, z)
(r, θ, φ)

φ는 그대로 두고 2:2 mapping이다..
}

[edit]

10.2.3.1. 원통 → 구면

$(\rho,\phi,z)\to(r,\theta,\phi)$

[edit]

10.2.3.2. 구면 → 원통

$(r,\theta,\phi)\to (\rho,\phi,z)$


[edit]

11. 벡터미적분을 위한 좌표계의 디퍼렌셜, 미소xx

[edit]

11.1. 직각좌표계에서는


미소길이/미소변위 $d\vec{\ell}$ (l: length)은 디퍼렌셜(스칼라)와 단위벡터의 곱의 합으로 나타남
$d\vec{\ell}=dx\hat{a_x}+dy\hat{a_y}+dz\hat{a_z}$

미소면적 $d\vec{s}$ (s: surface)은, 어느 평면에 평행하게 있느냐에 따라
$d\vec{s}$
$=dydz\hat{a_x}$ (yz평면에 평행할 경우)
$=dxdz\hat{a_y}$ (xz평면에 평행하고, 법선이 y축과 평행)
$=dxdy\hat{a_z}$
normal vector 방향은 체적에서 멀어지는 방향으로.
이렇게 법선단위벡터와 스칼라 두개씩의 결합으로 표현 가능

미소체적 $dv$ (v: volume) 는 벡터가 아니며
$dv=dxdydz$

[edit]

11.2. 원통좌표계에서는


미소길이
$d\vec{\ell}=d\rho\hat{a_{\rho}}+\rho d\phi\hat{a_{\phi}} + dz\hat{a_z}$

미소면적
$d\vec{s}$
$=\rho\, d\phi\, dz\, \hat{a_{\rho}}$
$=d\rho\, dz\, \hat{a_{\phi}}$
$=\rho\, d\phi\, d\rho\, \hat{a_z}$

미소체적
$dv=d\rho\, \rho d\phi\, dz$
$=\rho\,d\rho\,d\phi\,dz$

[edit]

11.3. 구면좌표계에서는


미소길이
$d\vec{\ell}=dr\hat{a_r} + rd\theta\hat{a_{\theta}} + r\sin\theta d\phi\hat{a_{\phi}}$

미소면적
$d\vec{s}$
$=\hat{a_r} r d\theta r\sin\theta$
$=\hat{a_{\theta}} dr r\sin\theta$
$=\hat{a_{\phi}} dr rd\theta$

미소체적
$dv=dr\,rd\theta\,r\sin\theta = r^2\sin\theta dr d\theta d\phi$


[edit]

11.4. and

참고로 미소면적은 미소면적크기(스칼라) 곱하기 법선벡터
$d\vec{s}=ds\hat{a_n}$

면적 S가 벡터장,vector_field $\vec{A}$ 속에 있을 때
면적 S를 통한 $\vec{A}$ 의 면적분,surface_integral or 선속,flux
$\int_S\vec{A}\cdot d\vec{s}=\int_S\vec{A}\cdot\hat{a_n}ds=\int_S|\vec{A}| |\hat{a_n}| \cos\theta ds$
단위벡터의 길이는 1이므로
$=\int_S |\vec{A}| \cos\theta ds$

위의 내용은 S가 개곡면일 때 개곡면에 대한 면적분이고,
폐곡면이면..
$\oint_S \vec{A}\cdot d\vec{s}$ : S를 통해 나가는 순 선속 (net flux)

Q: 선속은 폐곡면의 면적분에서만 정의되나?

체적적분,volume_integral
체적 v에 대한 스칼라 $\rho_v$ 의 체적적분은
$\int_v \rho_v dv$

...이하 발산정리,divergence_theorem로 이어짐...
[https]src

[edit]

12. 미소선분 dL

AKA 미소길이

$d\vec{L}=dx\hat{x}+dy\hat{y}+dz\hat{z}$

$d\vec{L}=d\rho \hat{\rho}+\rho d\phi \hat{\phi}+dz \hat{z}$

$d\vec{L}=dr \hat{r}+rd\theta \hat{\theta}+r\sin\theta d\phi \hat{\phi}$
CHK

[http]src ysi 4강 1:32
Next: see 전압,voltage#s-12(ysi)


[edit]

13. 좌표계와, 행렬식, 고유벡터의 관계

Determinant and eigenvectors don't care about the coordinate system. ([https]1:24)

[edit]

14. QQQ frame?

물리에서는 '좌표계(frame)'라는 표현이 등장하는데 이것과 coordinate system과의 관계가 정확히?

[edit]

15. IMAGE