밑에 보니 -차원 -차 ...이것은 항상 rank? chk 랭크,rank

(대충. chk)
{
스칼라,scalar는 0차원 텐서
벡터,vector는 1차원 텐서
행렬,matrix은 2차원 텐서

QQQ 여기선 차원,dimension이 rank랑 같은말인지?
QQQ rank는 linalg의 그 계수,rank와 동일한건지 아님 차이가 있는건지

텐서는 각 성분이 행렬로 이루어진 배열,array로 나타낼 수 있다?

- data structure 표현에서만? or 일반적?

tmp bmks en
https://e-magnetica.pl/scalar_vector_tensor

텐서를 쓰는 이유 - 3차원 이상 구조의 데이터를 표현할 때를 위해?
차원이 높은 즉 $d\ge3$ 이상의 공간,space에서 미적분학을 기술할 때 유용하다고.
그리고 다른 방식으로 행렬미적분,matrix_calculus?

Matrix_calculus
and 텐서미적분,tensor_calculus?

Tensor_calculus
}

필수 특성:
좌표독립성 coordinate_independence (coordinate independent) - 좌표,coordinate에 독립성,independence.
좌표불변성 coordinate_invariance (coordinate invariant) - 불변성,invariance

A rank-n tensor in m-dimensions is a mathematical object that has n indices and mⁿ components and obeys certain transformation rules.
변환을 해도, 의미가 변하지 않는, 숫자나 숫자들의 collection.
(성질을 다 만족 안하고 비슷한???) pseudotensor가 있음. CHK [1]

Sub:

변형력텐서,stress_tensor 응력텐서 변형력,stress ... https://encyclopediaofmath.org/wiki/Stress_tensor
텐서곱,tensor_product - writing
계량텐서,metric_tensor - writing
대칭텐서,symmetric_tensor - 아래 언급있음 나중에 fork. / writing
치환텐서 permutation_tensor - sim. 레비치비타_기호,Levi-Civita_symbol ... https://mathworld.wolfram.com/PermutationTensor.html
추가할 sub들 writing(텐서 섹션에.)

1. old tmp
2. tmp links ko
3. 대칭텐서와 비대칭텐서
4. magnitude, number, scalar의 차이? + tensor 소개
5. from Science Asylum
6. NLP에서 tensor
7. tensor decomposition
8. tmp; relativity

[edit]

1. old tmp ¶

확실: 스칼라와 벡터는 텐서의 특수한, 심플한 경우임. (다만 좌표독립은 필수)

실수,real_number/스칼라,scalar는 0차 텐서,
벡터,vector는 1차 텐서,
행렬,matrix은 2차 텐서 이런 식??
차원,dimension에 따라 저렇게 나뉨?

http://mathworld.wolfram.com/TensorRank.html 관련page?

rank는 뭐임?
linalg의 계수,rank와 관계?

물리와 수학에서 의미 차이가 약간 있는 것 같은데..

2020-11-16
텐서의 특징은 좌표불변(coordinate_independent or coordinate_invariant) 좌표독립? (아무튼 좌표,coordinate관련)

아인슈타인_표기법,Einstein_notation이 매우 자주 쓰이는 듯.

레비치비타_기호,Levi-Civita_symbol는 유사텐서라고도 하고[2] 치환텐서라고도 하는데[2] 어떤 것들인지....

2022-07-03 via [https]

카카오로 간 이론물리학자

물리학에서는 텐서의 의미를 가지려면 general coordinate transformation(일반화 좌표 변환)에 covariant(공변)해야 한다는 조건이 필요하지만, 보통 flat한 시공간에서는 중요한 조건이 아님.
성질로 rank가 있으며 rank가 커질수록 인덱스,index 개수가 늘어남. rank가 커진다고 차원,dimension이 커지는 것은 아님.

[edit]

2. tmp links ko ¶

초보용, casual, 감잡기용
https://blog.naver.com/leeneer/220924950140

이것도 엄밀함을 포기하고 쉽게 (학부과정 물리에만 한정해서) 텐서 개념 설명.
물리학에서 텐서란? Tensor
https://freshrimpsushi.github.io/posts/tensor/

아래 블로그 Tensor 카테고리에 16개의 글 있으며
https://blog.naver.com/mykepzzang/221354031398 이게 첫 글.

텐서와 상대론 (Tensor and Relativity) - 0. 텐서 (Tensor) 란?
https://kipid.tistory.com/entry/Tensor

[edit]

3. 대칭텐서와 비대칭텐서 ¶

Symmetric tensor & antisymmetric tensor
A is symmetric ⇔

$A=A^t$ 또는
$A_{ij}=A_{ji}$

A is antisymmetric ⇔

$A=-A^t$ 또는
$A_{ij}=-A_{ji}$

MKLINK symmetry antisymmetry

[edit]

4. magnitude, number, scalar의 차이? + tensor 소개 ¶

// 요약 from https://m.blog.naver.com/rlaghlfh/220914107525 (텐서에 대한 글) 앞부분; etc CHK

number숫자	크기magnitude만을 뜻함, 개수(how many?)는 이걸로 충분.
scalar	위에, 정보가 추가됨. 이 글에선 단위,unit가 추가됨. (Q: 항상 단위만?) ex 온도, 거리 등은 이걸로 충분.
vector	위에, 방향,direction정보가 추가됨. ex 속도, 운동량 등.

(이하 텐서 소개)

방향과 크기를 다 바꾸려면?
벡터에다가 곱을 하면....

스칼라곱은 크기는 달라져도 방향은 바꾸지 않는다.

반대방향도 가능하지 않나? CHK 아무튼 최대 두 개만 가능.

cross product는 무조건 직각인 방향으로만 방향을 바꾼다.

일단 rank를 알아보면

			3차원에서?	ex.
tensor of rank 0	rank-0 tensor	scalar	크기만 나타내는 1개 성분	`[1]`
tensor of rank 1	rank-1 tensor	vector	크기와 1개의 방향을 나타내는 3개 성분	`[1,1]`
tensor of rank 2	rank-2 tensor	dyad	크기와 2개의 방향을 나타내는 9개 성분	`[[1,1],[1,1]]`
tensor of rank 3	rank-3 tensor	triad	크기와 3개의 방향을 나타내는 27개 성분	`[[[1,1],[1,1]],[[1,1],[1,1]]]`
tensor of rank n	rank-n tensor	?	?

You see, rank가 n이면 성분은 3ⁿ개로.
rank대신 order, degree 용어도 쓰나 보다.

차수(rank or order)로 설명하는 텐서와 벡터/행렬/dyad/triad/etc.와의 관계
(Q: 행렬/선대의 차수/계수,rank와 관련은? (이건 있을 듯) 미분방정식,differential_equation의 계수(order, 최대미분회수)와 같은 단어 썼는데 혹시 관련은?(이건 없을듯))

0차 텐서	벡터가 0개	스칼라임
1차 텐서	벡터가 1개	벡터임
2차 텐서	벡터가 2개 일렬	행렬이나 dyad임
3차 텐서	벡터가 3개 일렬	triad임

(Q: 일렬은 permutation을 뜻하나?)
위 관계의 역은 항상 성립하지 않음. 텐서가 벡터, 행렬, dyad와 유사하지만 같지는 않음. 반드시 좌표독립 특성을 가져야 함. 행렬, 벡터가 좌표불변성을 가지면 바로 텐서가 될 수 있음.

어원: tensus (Latin for 'stretch')
역사적으로 stress tensor에서 시작된 듯.
처음? 초기에? 텐서 개념 출발이 응력텐서(stress tensor) 관련인 듯 한데. CHK. (응력에 대해선 변형력,stress 참조)
tension(영어: 장력, 팽팽하게 함, etc.)과 어원이 같은가?

[edit]

5. from Science Asylum ¶

https://www.youtube.com/watch?v=bpG3gqDM80w

stress tensor
변형력,stress

Stress-Force Law는

$F=\begin{bmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_x\\A_y\\A_z\end{bmatrix}$

여기서

$F$ : 힘,force
왼쪽 행렬은 stress tensor
오른쪽 벡터는 area vector (directional area faces)

electromagnetic tensor
전자기학,electromagnetism
는 이렇게 생김
$\begin{bmatrix}0&E_x&E_y&E_z\\-E_x&0&B_z&-B_y\\-E_y&-B_z&0&B_x\\-E_z&B_y&-B_x&0\end{bmatrix}$

혹은 array로 값들을 오른쪽으로 align하면,
$\left[\begin{array}{rrrr}0&E_x&E_y&E_z\\-E_x&0&B_z&-B_y\\-E_y&-B_z&0&B_x\\-E_z&B_y&-B_x&0\end{array}\right]$

로런츠_힘,Lorentz_force은
$F=q\begin{bmatrix}0&E_x&E_y&E_z\\-E_x&0&B_z&-B_y\\-E_y&-B_z&0&B_x\\-E_z&B_y&-B_x&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\gamma\\\gamma v_x\\\gamma v_y\\\gamma v_z\end{bmatrix}$

[edit]

6. NLP에서 tensor ¶

2024-02-24 tmp from 텐서가 무엇인가요?(5m, short) - YouTube - 허민석 https://www.youtube.com/watch?v=m0qwxNA7IzI
{
1:15
문장,sentence이 다음 세 개가 있을 때
hi John
hi James
hi Brian
unique word dictionary를 만들고 / index를 부여하고 / 단어,word들을 0,1-vector? 암튼 벡터,vector(이건 sparse_vector)로 만든다

unique word	인덱스,index	one-hot_encoding_vector (원핫,one-hot one-hot_encoding rel. one-hot_encoder)
hi	0	[1,0,0,0]
John	1	[0,1,0,0]
James	2	[0,0,1,0]
Brian	3	[0,0,0,1]