고유벡터,eigenvector

정의가 고유값,eigenvalue과 매우 밀접하므로 같이 참조.



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1. ㄷㄱㄱ

정의: 정사각행렬,square_matrix $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 의 고유벡터,eigenvector는,
어떤 스칼라,scalar $\lambda$ 에 대해, 다음 조건을 만족하는 영벡터가 아닌 벡터 $\vec{x}\in\mathbb{R}^n$ 이다.
$A\vec{x}=\lambda\vec{x}$
이 때 $\lambda$ 를 $A$ 의 고유값,eigenvalue이라 하며,
그런 $\vec{x}$ 를 $\lambda$ 에 대응하는 고유벡터라고 한다.

(원문)
Definition: An eigenvector of a square matrix 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 is a
nonzero vector 𝐱 ∈ ℝ𝑛 such that 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱 for some scalar 𝜆
In this case, 𝜆 is called an eigenvalue of 𝐴, and
such an 𝐱 is called an eigenvector corresponding to 𝝀.

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1.1. 변환,transformation 관점

선형변환,linear_transformation $T(\vec{x})=A\vec{x}$ 를 고려하자.
만약 $\vec{x}$ 가 고유벡터이면, $T(\vec{x})=A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ 이다.
즉 출력 벡터가 $\vec{x}$ 와 같은 방향,direction이면서 길이,length가 $\lambda$ 만큼 규모가 변했다는(scaled) 뜻이다.

(원문)
Consider a linear transformation 𝑇 x = 𝐴x.
If x is an eigenvector, then 𝑇 x = 𝐴x = 𝜆𝐱, which means
the output vector has the same direction as x,
but the length is scaled by a factor of 𝜆.

Ex.
$A=\begin{bmatrix}2&6\\5&3\end{bmatrix}$ 에 대해 고유벡터는 $\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ 이다. 이유는
$T(\vec{x})=A\vec{x}=\begin{bmatrix}2&6\\5&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\8\end{bmatrix}=8\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$
이 식에서
$\begin{bmatrix}2&6\\5&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=8\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ 부분은
$A\vec{x}=8\vec{x}$ 와 동등.

그렇다면 computational advantage가 있다는 것을 알 수 있다. $\begin{bmatrix}2&6\\5&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ 와 $8\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ 중에 어떤 것을 빨리 계산할 수 있는지는 명백하다.
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2. 나카이 에츠지

정사각행렬 A에 대해 어떤 상수 λ를 써서
$A\vec{x}=\lambda\vec{x}$
관계가 성립하는 벡터 $\vec{x}\ne\vec{0}$ 가 있을 때
이 벡터를 행렬 A의 고유벡터라고 하며,
상수 λ를 고유값,eigenvalue으로 부른다.

임의의 상수 $c\ne 0$ 에 대해
$A(c\vec{x})=\lambda(c\vec{x})$
이므로 $c\vec{x}$ 도 고유값 $\lambda$ 의 고유벡터이다.
i.e.
고유벡터에는 상수배에 관해 임의성이 있다.

한 벡터 $\vec{x}$ 가 서로 다른 고유값 $\lambda_1,\lambda_2$ 모두의 고유벡터가 될 수 없다.

pf. 만일 두 고유값의 고유벡터라면
$A\vec{x}=\lambda_1\vec{x}$
$A\vec{x}=\lambda_2\vec{x}$
$\vec{0}=(\lambda_1-\lambda_2)\vec{x}$
$\vec{x}\ne\vec{0}$ 이므로 $\lambda_1=\lambda_2$ 인데, 이것은 다른 고유값이라고 전제한 것에 모순.

행렬,matrix이 고유벡터를 가지는지 판정하는 법

어떤 벡터,vector $\vec{x}\ne\vec{0}$ 이 고유값 $\lambda$ 의 고유벡터라면
$A\vec{x}=\lambda\vec{x}$
$(A-\lambda I)\vec{x}=\vec{0}$
$B=A-\lambda I$ 라면
$B\vec{x}=\vec{0}$

이 연립일차방정식의 해로 $\vec{x}$ 가 결정되며, B가 정칙행렬(가역행렬,invertible_matrix)이라면 $\vec{x}=\vec{0}$ 이 되어 고유벡터가 없다.
고유벡터가 존재하기 위한 필요조건은 detB=0, 즉
$\det(A-\lambda I)=0$

만일 A가
$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$
이렇다면,
$\det\left[ \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} \right]$
$=\det\begin{bmatrix}a-\lambda & b\\ c & d-\lambda \end{bmatrix}$
$=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)$

이런 $\lambda$ 에 대한 이차방정식,quadratic_equation을 행렬 A의 고유방정식이라 함.
(=특성방정식,characteristic_equation?)

행렬 A의 고유방정식이 서로 다른 실수해 $\lambda_1,\lambda_2$ 를 가질 때, 서로 일차독립인(see 선형독립,linear_independence) 고유벡터 $\vec{x_1},\vec{x_2}$ 를 가진다.
$A\vec{x_1}=\lambda_1\vec{x_1}$
$A\vec{x_2}=\lambda_2\vec{x_2}$
표준기저,standard_basis $\vec{e_1},\vec{e_2}$ 를 $\vec{x_1},\vec{x_2}$ 로 옮기는 변환(선형변환,linear_transformation)을 나타내는 행렬을 C라고 하면
$A=C\begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} C^{-1}$
왼쪽에 C-1을 오른쪽에 C를 곱하면
$C^{-1}AC=\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}$
이렇게 대각행렬,diagonal_matrix이 된다.

이렇게, 어떤 정사각행렬 A에 정칙행렬(가역행렬,invertible_matrix) C와 그 역행렬 C-1을 양쪽에 곱해서 대각행렬로 변환시키는 작업을 대각화,diagonalization라고 한다.

QQQ 위 내용 고유값분해,eigendecomposition인가? CHK



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3. 생각

정의상 절대 영벡터가 아니다. CHK

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4. tmp from MW

사실 두 가지 eigenvectors
left_eigenvector https://mathworld.wolfram.com/LeftEigenvector.html - 행벡터,row_vector
right_eigenvector https://mathworld.wolfram.com/RightEigenvector.html - 열벡터,column_vector
가 있으나 대개의 물리 및 공학 문제에 있어 보통 right eigenvector 하나만을 생각하는 것 만으로 충분하다. 그냥 eigenvector라 하면 right eigenvector를 뜻한다.

정사각행렬,square_matrix을 고유값,eigenvalues들과 고유벡터들로 분해,decomposition하는 것을 Srch:eigendecomposition라 하고.....