단어/표현
level curve 등위선, 등위곡선, 등고선(등고선은 대개 contour line으로 번역)

QQQ:
gradient에 점을 대입하고 unit vector를 내적한 것???
(특정 축,axis 방향으로만 정의되는) 편미분,partial_derivative을 일반화하여 (임의 단위벡터,unit_vector 방향으로의) 도함수...? 편미분의 일반화?

참고로 이걸(방향도함수를) 일반화한 Gateaux_derivative가 있음

(정의) 방향도함수
함수 $z=f(x,y)$ 의 단위벡터,unit_vector $\vec{u}=\cos\theta\hat{\rm i}+\sin\theta\hat{\rm j}$ 방향,direction의 방향도함수(directional derivative)는 다음 극한,limit이 존재할 때

$D_{\vec{u}}f(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h\cos\theta,y+h\sin\theta)-f(x,y)}{h}$

이다.
이것은 편도함수(=편미분,partial_derivative)를 일반화,generalization한 개념이다. 왜냐하면

$\theta=0$ 은 $D_{\hat{\rm i}}f(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{\partial z}{\partial x}$ 을,
$\theta=\frac{\pi}{2}$ 는 $D_{\hat{\rm j}}f(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}=\frac{\partial z}{\partial y}$ 을

의미하기 때문이다. // (즉 위에 생각대로, 방향도함수의 축 방향으로의 특수한 경우가 바로 편도함수)

(정리) 방향도함수의 계산
함수 $z=f(x,y)$ 가 미분가능하고 $\vec{u}=\cos\theta\hat{\rm i}+\sin\theta\hat{\rm j}$ 이면

$D_{\vec{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\vec{u}$

이다.
// (위 정의의 식보다 기울기,gradient를 쓰는 이 식이 더 편리)

...

방향도함수의 최대와 최소
방향도함수의 최대값은 $||\nabla f||$ 이고 $\vec{u}$ 와 $\nabla f$ 의 방향이 같을 때 발생한다 $(\cos\phi=1)$
방향도함수의 최소값은 $-||\nabla f||$ 이고 $\vec{u}$ 와 $\nabla f$ 의 방향이 반대일 때 발생한다 $(\cos\phi=1)$

(위 두 식을 다음과 같이 표현할 수 있다:)
기울기벡터,gradient_vector $\nabla f$ 는 $f$ 가 가장 급격히 증가하는 방향을 가리키며
$-\nabla f$ 는 $f$ 가 가장 급격히 감소하는 방향을 가리킨다.
(rel. 증감,increment_and_decrement)

(Zill 6e ko p625, 628)

공간상의 점 $P$ 에서 벡터 $\vec{b}$ 방향으로의 함수 $f(x,y,z)$ 의 방향도함수(directional derivative) $D_{\vec{b}}f$ 또는 $\frac{df}{ds}$ 는 다음과 같이 정의된다. (그림 참조)

$D_{\vec{b}}f=\frac{df}{ds}=\lim_{s\to 0}\frac{f(Q)-f(P)}{s}$

여기서

$Q$ 는 $\vec{b}$ 방향으로 직선 $L$ 위를 움직이는 점이며,
$|s|$ 는 점 $P,Q$ 사이의 거리.

만약

$Q$ 가 $\vec{b}$ 방향에 위치하면 $s>0$ 이며,
$Q$ 가 $\vec{b}$ 방향에 위치하면 $s<0$ 이고,
$Q=P$ 이면 $s=0$ 이다.

직교 $xyz$ 좌표계를 사용하고, $\vec{b}$ 를 단위벡터로 가정한다. 그러면 직선 $L$ 은

$\vec{r}(s)=x(s)\hat{\rm i}+y(s)\hat{\rm j}+z(s)\hat{\rm k}=\vec{p_0}+s\vec{b}$

로 표현. (여기서 $\vec{p_0}$ 는 $P$ 의 위치벡터,position_vector이다.)
이걸 미분하면

$\vec{r}{}'=x'\hat{\rm i}+y'\hat{\rm j}+z'\hat{\rm k}=\vec{b}$

이다.

$f$ 가 연속인 편도함수를 갖는다고 가정하고, 연쇄법칙,chain_rule을 이용하면

$D_{\vec{b}}f=\frac{df}{ds}=\frac{\partial f}{\partial x}x'+\frac{\partial f}{\partial y}y'+\frac{\partial f}{\partial z}z'$ (프라임은 s에 관한 도함수를 뜻함)

이 식은 $\vec{b}$ 와 $\operatorname{grad}f$ 의 내적,inner_product이 된다. 즉

$D_{\vec{b}}f=\frac{df}{ds}=\vec{b}\cdot\operatorname{grad}f$

따라서 0이 아닌 임의의 길이를 갖는 벡터 $\vec{a}$ 에 대한 방향도함수는

$D_{\vec{a}}f=\frac{df}{ds}=\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}\cdot\operatorname{grad}f$

(Kreyszig 10e 번역판 9.7)

$T_1=T(x,y,z)$ 가 점 $P_1=(x,y,z)$ 에서의 온도이고
$T_2=T(x+dx,y+dy,z+dz)$ 가 점 $P_2=(x+dx,y+dy,z+dz)$ 에서의 온도라면

$d\vec{\ell}=\hat{x}dx+\hat{y}dy+\hat{z}dz$

이며 점 $P_1,P_2$ 사이의 온도차 $dT=T_2-T_1$ 는

$dT=\frac{\partial T}{\partial x}dx+\frac{\partial T}{\partial y}dy+\frac{\partial T}{\partial z}dz$

그런데 $dx=\hat{x}\cdot d\vec{\ell},\,dy=\hat{y}\cdot d\vec{\ell},\,dz=\hat{z}\cdot d\vec{\ell}$ 이므로 다시 쓰면

$dT=\hat{x}\frac{\partial T}{\partial x}\cdot d\vec{\ell}+\hat{y}\frac{\partial T}{\partial y}\cdot d\vec{\ell}+\hat{z}\frac{\partial T}{\partial z}\cdot d\vec{\ell}$
$=\left[\hat{x}\frac{\partial T}{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial T}{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial T}{\partial z}\right]\cdot d\vec{\ell}$

각괄호 내의 내용은 벡터로서 gradient of T, T의 기울기,gradient이며 $=\nabla T=\operatorname{grad}T$ 로 표기한다. 그리하여 식을 다시 쓰면

$dT=\nabla T\cdot d\vec{\ell}$ (3.73)

The symbol ∇ is called the del or gradient operator. (델,del,나블라,nabla)
With $d\vec{\ell}=\hat{a_{\ell}}d\ell,$ where $\hat{a_{\ell}}$ is the unit vector of $d\vec{\ell},$ the directional derivative of $T$ along $\hat{a_{\ell}}$ is

$\frac{dT}{d\ell}=\nabla T \cdot \hat{a_{\ell}}$

We can find the difference $(T_2-T_1),$ where $T_1=T(x_1,y_1,z_1)$ and $T_2=T(x_2,y_2,z_2)$ are the values of T at points $P_1$ and $P_2,$ not necessarily infinitesimally close to one another, by integrating both sides of Eq (3.73). Thus,

$T_2-T_1=\int_{P_1}^{P_2}\nabla T \cdot d\vec{\ell}$

(Ulaby 7e p154-155 eq3.75)

먼저 기울기,gradient기호 관례

$dF=\nabla F\cdot d\vec{s}$
$\frac{dF}{ds}=\nabla F\cdot \vec{u}$

For any unit vector $\vec{u},$ let

$D_{\vec{u}}f(\vec{p})=\lim_{h\to0}\frac{f(\vec{p}+h\vec{u})-f(\vec{p})}{h}$

if it exists is called directional derivative of $f$ at $\vec{p}$ in the direction $\vec{u}.$

그리하여, 방향도함수를 gradient로 나타내면

$D_{\vec{u}}f(\vec{p})=\frac{dF}{ds}=\nabla F\cdot\vec{u}$

where $F=f(\vec{p})$

편미분은 x,y(등) 축 방향만으로의 기울기를 알 수 있다면
방향도함수는 임의의 u벡터 방향으로의 기울기를 알 수 있는 $f_u(x,y)$ 이다? CHK

방향도함수와 gradient 관계는

$D_{\vec{u}}f=|\nabla f|\cos\theta$

$\Rightarrow$

$-|\nabla f| \le D_{\vec{u}}f \le |\nabla f|$

from https://blog.naver.com/cindyvelyn/222147143662

2D 평면에서,
편미분,partial_derivative $f_x$ 가 $x$ 축 방향 변화율, $f_y$ 가 $y$ 축 방향 변화율(rate of change)이라면
방향도함수를 써서 임의의 방향에 대한 변화율을 생각할 수 있다.
기호 : $\frac{\partial f}{\partial n}$
벡터 $\vec{n}$ 은 변화율을 구하고자 하는 그 방향에 평행. 그 방향과 x축 사이의 각도는 $\theta$ 라고 하면
$\frac{\partial f}{\partial n}=\lim_{\rho\to 0}\left[\frac{f(x_0+\rho\cos\theta,y_0+\rho\sin\theta)-f(x_0,y_0)}{\rho}\right]$

tmp definition:

$\nabla_{\vec{v}}f(\vec{a})=\lim_{h\to 0}\frac{f(\vec{a}+h\vec{v})-f(\vec{a})}{h}$

여기서

$||\vec{v}||=1$

src

tmp; Compare:
기울기,gradient:

$\nabla f(x_0,y_0)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right)$

dir. deriv.:

$D_{\vec{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\vec{u}$

z=f(x,y)에서
directions of maximum descent/ascent : -∇f, ∇f
max. rate of descent/ascent

from

src 시작화면

(Q: 곡면,surface등에서?) 편미분,partial_derivative이 특정 축에 평행한 방향으로의 기울기,slope를 구한다면, 방향도함수는 임의의 방향으로의 기울기(slope? 기울기,gradient?) 를 구할 수 있다.

먼저 방향,direction을 벡터로 정하고 길이는 1이 되게 한다. (단위벡터,unit_vector)
Fix a direction $\vec{u}=\langle u_1,u_2 \rangle,$ where $|\vec{u}|=1$

$x(s)=x_0+su_1$
$y(s)=y_0+su_2$

그러면 directional directive with respect to u는
$\textrm{D}_{\vec{u}}f(x_0,y_0)=\lim_{s\to 0}\frac{f(x_0+su_1,y_0+su_2)-f(x_0,y_0)}{s}$
$=\left.\frac{d}{ds}\left[ f(x(s),y(s)) \right]\right|_{s=0}$
연쇄법칙,chain_rule을 적용하면
$=\left( \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}\frac{dx}{ds}\right)+\left( \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}\frac{dy}{ds}\right)$
$=\left( \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}u_1\right)+\left( \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}u_2\right)$

Let $\nabla f=\left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle$ (기울기,gradient of f) 그러면,
$\mathrm{D}_{\vec{u}} f(x_0,y_0)=\nabla f |_{(x_0,y_0)} \cdot \vec{u}$

from Dr. Bazett [https]

src

tmp from Vector Calculus
If $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},$ the directional derivative of $f$ at $\vec{x}$ along the vector $\vec{v}$ is given by

$\left.\frac{d}{dt}f(\vec{x}+t\vec{v})\right|_{t=0}$

if this exists.
$\vec{v}$ 는 보통 단위벡터,unit_vector로 선택.

또 다른 정의는

$\lim_{h\to0}\frac{f(\vec{x}+h\vec{v})-f(\vec{x})}{h}$

CHK

방향도함수와 기울기벡터,gradient_vector

이변수함수 $z=f(x,y)$ 와 단위벡터(방향도함수에는 항상 단위벡터만 써야 한다. 이유는?) $\vec{u}=\langle a,b\rangle$ 에 대해 $\vec{u}$ 방향으로 함수값의 변화율은

$D_{\vec{u}}f(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+ha,y_0+hb)-f(x_0,y_0)}{h}$

이고

$D_{\vec{u}}f(x,y)$

를 방향도함수라고 한다. $z=f$ 가 미분가능하면 $\vec{u}$ 방향으로의 방향도함수는

$D_{\vec{u}}f(x,y)=f_x(x,y)a+f_y(x,y)b$

이다.

연쇄법칙,chain_rule 언급됨.

기울기벡터: 이변수함수 $z=f(x,y)$ 에 대해 벡터

$\nabla f(x,y)=\langle f_x(x,y),f_y(x,y)\rangle = \left\langle \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right\rangle$

를 기울기벡터(gradient vector)라 함.

CHK; tmp from http://blog.naver.com/mindo1103/90103573706

점,point $(x,y)$ 에서 각,angle $\theta$ 방향,direction의 $z=f(x,y)$ 의 방향도함수는 (z의 순간변화율?)

$D_{\theta}f(a,b)=\lim_{s\to 0}\frac{f(a+s\cos\theta,b+s\sin\theta)-f(a,b)}{s}$

각->벡터로 일반화?

점,point $(x,y)$ 에서 벡터,vector $\vec{u}$ 방향,direction의 $z=f(x,y)$ 의 방향도함수는

$D_{\vec{u}}f(x,y)=(f_x(x,y),f_y(x,y))\cdot\vec{u}$

인 듯 한데 여기서

$(f_x(x,y),f_y(x,y))=\nabla f(x,y)$

는 $z=f(x,y)$ 의 기울기,gradient라고... CHK
즉 $D_{\vec{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y) \cdot \vec{u}$

$z=f(x,y)$ 의 점 $(x,y)$ 에서 방향도함수의 최대값은 gradient의 크기이고, $\vec{u}$ 의 방향은 $\nabla f$ 와 같다.

$\vec{u}=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$

단위벡터,unit_vector...??

일반화

$n$ 변수함수 $z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 의 gradient:

$\nabla f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)$

단위벡터 $\vec{u}$ 방향의 방향도함수

$D_{\vec{u}}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\nabla f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\cdot\vec{u}$

tmp from http://contents.kocw.net/KOCW/document/2015/hanyang_erica/kimeunsang/7-2.pdf

$D_{\vec{u}}\varphi(P)$
directional derivative of $\varphi$ in the direction of $\vec{u}$ at $P$

(O'Neil AEM 7e 앞부분 표기법 안내)

기울기,gradient와의 관계

전제:

점 $P_0:(x_0,y_0,z_0)$
단위벡터,unit_vector $\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$ 는 $P_0$ 에서 뻗어나가는 화살표로 표현

$(x,y,z)$ 가 $P_0$ 에서부터 $\vec{u}$ 방향으로 변할(갈) 때 $\varphi(x,y,z)$ 의 변화율,rate_of_change(curr. see 비율,rate)을 측정하고 싶다.
이를 위해 $t>0$ 을 가정하면 점 $P:(x_0+at,y_0+bt,z_0+ct)$ 는 $t$ 가 변함에 따라 $P_0$ 에서 곧게 뻗어나가는 선 위에 있다.

$\varphi(x,y,z)$ 의 점 $P_0$ 에서 $\vec{u}$ 방향으로의 변화율 $D_{\vec{u}}\varphi(P_0)$ 을 측정하려면 다음을 계산.

$D_{\vec{u}}\varphi(P_0)=\frac{d}{dt}[\varphi(x_0+at,y_0+bt,z_0+ct)]_{t=0}$

그러면 $D_{\vec{u}}\varphi(P_0)$ 는 $P_0$ 에서 $\vec{u}$ 방향으로의 $\varphi$ 의 방향도함수이다.
(i.e.) $D_{\vec{u}}\varphi(P_0)$ is the directional derivative of Φ at P₀ in the direction of u.

연쇄법칙,chain_rule을 쓰면,

$=\left[\frac{d}{dt}\varphi(x_0+at,y_0+bt,z_0+ct)\right]_{t=0}$
$=a\frac{\partial\varphi}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)+b\frac{\partial\varphi}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)+c\frac{\partial\varphi}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)$
$=a\frac{\partial\varphi}{\partial x}(P_0)+b\frac{\partial\varphi}{\partial y}(P_0)+c\frac{\partial\varphi}{\partial z}(P_0)$
$=\nabla\varphi(P_0)\cdot(a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k})$
$=\nabla\varphi(P_0)\cdot\vec{u}$

따라서 이것은 $\varphi$ 의 그 점에서 gradient의 dot product이다. (u는 방향을 표시)

번역틀릴수있음. CHK
(O'Neil AEM 7e p357)

개념 설명은 기울기,gradient#s-3의 Sadiku 섹션에도 있음.

TOLINK:
기울기,gradient,편미분,partial_derivative이 필수개념임.. 기타 관계는?
기울기벡터,gradient_vector (curr. goto 벡터,vector) 와 밀접!?

[edit]