역삼각함수,inverse_trigonometric_function



역삼각함수의 함수값은 각,angle이다. (강우석)



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1. arcsin

$\sin$ 함수에서 일부분을 잘라낸
정의역: $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],$ 치역: $[-1,1]$
에 대한 역함수로 정의되므로,
$\arcsin$ 의
정의역: $[-1,1],$ 치역: $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$

inverse_sine_function

$\sin^{-1}x=y \; \Leftrightarrow \; \sin y=x \;\text{ and }\;-\frac{\pi}{2}\le y\le \frac{\pi}{2}$

cancellation은
$\sin^{-1}(\sin x)=x\;\text{ for }\;-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}$
$\sin(\sin^{-1}x)=x\;\text{ for }\;-1\le x\le 1$

(Stewart)

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2. arccos

inverse_cosine_function

$\cos^{-1}x=y \; \Leftrightarrow \; \cos y=x \;\text{and}\; 0 \le y \le \pi$

cancellation은
$\cos^{-1}(\cos x)=x \;\text{ for }\; 0\le x \le \pi$
$\cos(\cos^{-1} x)=x \;\text{ for }\; -1\le x \le 1$

(Stewart)

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3. arctan

탄젠트 역함수는 수평인 변 길이 $\ell_h,$ 수직인 변 길이 $\ell_v$ 인 직각삼각형의 밑변에 대한 각도를 계산할 때 사용.
$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{\ell_v}{\ell_h}\right)$

https://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html
https://everything2.com/title/arctangent

Compare: atan2 (아래쪽에)

inverse_tangent_function

$\tan^{-1}x=y \;\Leftrightarrow\; \tan y=x \;\text{ and }\; -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$

(Stewart)

역탄젠트 함수는 유리함수,rational_function $\frac1{1+x^2}$ 의 한 원시함수이다. 따라서 기하급수,geometric_series
$\frac1{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots\quad(|x|<1)$
의 양변을 적분하면, 등식
$\tan^{-1}x = x-\frac13 x^3 + \frac15 x^5 -\frac17 x^7 + \cdots \quad (|x|<1)$
을 얻는다.

(김홍종 미적분학 1+ p90)

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4. arccsc


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5. arcsec


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6. arccot


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7. atan2

WpEn:atan2
atan2는 보통 프로그래밍언어에서 이게 쓰이는데 이유 tbw.
포트란,Fortran에서 처음 등장.
hypot도 마찬가지. 둘이 같이 써서 직교좌표↔극좌표 변환에 쓴다고. See WpEn:Hypot.

Compare: arctan (위쪽에)


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8. some identities

역삼각함수항등식 inverse trig identity

https://i.imgur.com/OY8ipjk.png

https://i.imgur.com/6pzlK51.png

(강우석)

$y=\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}$
이걸 미분하면
$\frac{dy}{dx}=\frac1{sqrt{1-x^2}}-\frac1{sqrt{1-x^2}}=0$