기호

함수 $f$ 의 역함수: $f^{-1}$
"f inverse"라고 읽는다.

f: X→Y ⇔ f^-1: Y→X
$f:X\to Y \;\Leftrightarrow\; f^{-1}:Y\to X$

함수 $f:X\to Y$ 에 대해 함수 $g:Y\to X$ 가 존재하여

모든 $y\in Y$ 에 대해 $f(g(y))=y$ 이고,
모든 $x\in X$ 에 대해 $g(f(x))=x$ 일 때

$f$ 와 $g$ 는 서로 역함수이며

$g=f^{-1},\;f=g^{-1}$

로 표시한다.

주의:

$f^{-1}(x)\ne \frac1{f(x)}=[f(x)]^{-1}$

함수와 그 역함수를 합성하면(합성함수,composite_function, function_composition) 항등함수,identity_function가 됨

$(f^{-1}\circ f)(x)=x$

If $f(x)$ is a one-to-one function, then $f^{-1}(f(x))=x=f(f^{-1}(x)).$

$f:D\to R$ 이 일대일함수(단사,injection 함수, 단사함수,injective_function)일 때, 역함수 $f$ 의 정의는

$f^{-1}(b)=a\textrm{ if } f(a)=b$

$f^{-1}$ 의 정의역은 $R$ 이고 치역은 $D$ 이다. (즉 정의역과 치역이 교체.)

(Thomas Calculus 13e p42)

함수 $f$ 가 정의역 A, 치역 B인 일대일함수(one-to-one function with domain A and range B)이면
그 역함수(inverse function) $f^{-1}$ 는 정의역 B와 치역 A를 가지며, $\forall y\in B$ (B에 있는 임의의 y) 에 대해 다음과 같이 정의된다.

$f^{-1}(y)=x\;\Leftrightarrow\;f(x)=y$

(Stewart)

(그래프에서 보면/기하적으로)
$f^{-1}$ 의 그래프는 $f$ 의 그래프와 직선 $y=x$ 에 대해 대칭.

1. 서로 역함수인 함수들

2. 역함수를 가질 조건

3. 역함수의 도함수, 역함수 미분법

4. 역함수정리 inverse function theorem

5. (정리) f: 연속 ⇔ f^-1: 연속

6. 역함수미분 공식 - 라이프니츠 표기

7. TBW later; + fork to 'inverse' and '역' page

7.1. inverse
7.2. 역

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1. 서로 역함수인 함수들 ¶

삼각함수,trigonometric_function
역삼각함수,inverse_trigonometric_function

쌍곡선함수,hyperbolic_function
역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function

지수함수,exponential_function
로그함수,logarithmic_function

CHK; 2020-10-25
{
다만 위의 것들은 서로 '정교하게 들어맞는 완벽한 엄밀한'(?) 역함수 관계는 아님. 필요는 한데 일대일대응이 불가능한 경우가 많음. 그래서 arcxxx 함수는 원 함수(xxx)의 정의역이나 치역의 일부만 잘라서(piecewise?) 정의하거나 하는 등의 방법을 쓰는 듯. (see calculus textbooks' trig chapter)

역함수의 정의에 들어맞는 '엄밀한'(?) 역함수를 가지는 필요충분조건은 bijection인듯.

"역함수를 가질 필요 충분 조건은 전단사 함수이다." from

역함수
바로 밑에도 있음.

multivariable, multivariate, multivalued 등 이런 개념을 도입하면 제약에서 벗어나지만 대신 엄밀한 (역)함수는 아니게 됨.

이것은 주치,principal_value 개념과도 연관.
그것을 표기하는 notation중 하나인 첫 글자 대문자(capitalization) convention을 사용하여 arcsin vs Arcsin 이런 것도 보았는데 완전히 지배적으로(de facto 표준이 되어) 쓰이지는 않는 듯..?
참고..

Inverse_trigonometric_functions#Principal_values
https://brownmath.com/twt/inverse.htm

역삼각/역쌍곡선 함수의 표현/표기/이름/notation은 통일되지 않음.
ex. sin을 예로 들면

arcsin
Arcsin (아마 principal value만 뽑았음을 강조하는 표기?)
arsin
asin
sin^-1
Sin^-1 (이것도 principal value 〃)

}

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2. 역함수를 가질 조건 ¶

함수 $f:X\to f(X)$ 에 대해 다음은 동치이다.

(1) $f$ 가 일대일 함수이다.
(2) $f$ 의 역함수가 존재한다.

//일대일함수,one-to-one_function, 단사함수,injective_function 단사,injection later.
curr goto 함수,function#s-5.1

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3. 역함수의 도함수, 역함수 미분법 ¶

// tmp; merge; just moved from 함수

역함수 미분
연쇄법칙,chain_rule으로 생각하면

$y=f(x)$ 의 역함수
$y=g(x)$ 일 때
$f(g(x))=x$ 이므로 미분하면
$f'(g(x))g'(x)=1$ 이고
$g'(x)=\frac1{f'(g(x))}$ from [https]

https://namu.wiki/w/%EC%97%AD%ED%95%A8%EC%88%98%20%EC%A0%95%EB%A6%AC

역함수 도함수 내용 미분,derivative에서도 언급함.

거기서

역함수의_도함수(미분)_증명도 언급함.

If $f$ and $g$ are inverse functions then, // 즉 $f(g(x))=x$ and $g(f(x))=x$

$g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$

(https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DiffInvTrigFcns.aspx)

(Thm.) If $f$ is a one-to-one differentiable function with inverse function $f^{-1}$ and $f'(f^{-1}(a))\ne 0,$ then the inverse function is differentiable at $a$ and

$(f^{-1})'(a)=\frac{1}{f'(f^{-1}(a))}$

(Proof) 미분의 정의를 이용하면

$(f^{-1})'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(a)}{x-a}$

If $f(b)=a,$ then $f^{-1}(a)=b.$
And if we let $y=f^{-1}(x),$ then $f(y)=x.$
Since $f$ is differentiable, it is continuous, (미분가능하면 연속) so $f^{-1}$ is continuous.
Thus if $x\to a,$ then $f^{-1}(x)\to f^{-1}(a),$ that is, $y\to b.$ Therefore

$(f^{-1})'(a)$
$=\lim_{x\to a}\frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(a)}{x-a}$
$=\lim_{x\to b}\frac{y-b}{f(y)-f(b)}$
$=\lim_{y\to b}\frac{1}{\frac{f(y)-f(b)}{y-b}}$
$=\frac{1}{\lim_{y\to b}\frac{f(y)-f(b)}{y-b}}$
$=\frac{1}{f'(b)}$
$=\frac{1}{f'(f^{-1}(a))}$

(Stewart 9e Appendix F Section 3.6 page A46)

역함수 관계식

$f(f^{-1}(x))=x$

양변을 미분

$\frac{d}{dx}f(f^{-1}(x))=1$

연쇄법칙

$f'(f^{-1}(x))\cdot \frac{d}{dx} f^{-1}(x) = 1$
$\frac{d}{dx} f^{-1}(x) = \frac1{ f'(f^{-1}(x)) }$

(Thomas 2.8 p119)

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4. 역함수정리 inverse function theorem ¶

역함수정리,inverse_function_theorem
[https]

수학백과: 역함수 정리
https://calculus.subwiki.org/wiki/Inverse_function_theorem

역함수 정리
구간에서 정의된 미분가능한 함수 $y=f(x)$ 가 (미분가능함수,differentiable_function)
정의역의 임의의 점 $x$ 에서 $f'(x)\ne 0$ 이면,
$f$ 의 역함수,inverse_function $x=f^{-1}(y)$ 가 존재하고, 미분가능하다. 이 때 (미분가능성,differentiability)

$\frac{d}{dy} f^{-1}(y) = \frac1{ \frac{d}{dx} f(x) }$

이다. 역함수 정리의 결론을 간단하게

$\frac{dx}{dy} = \frac1{ \;\frac{dy}{dx}\; }$

라고 표현할 수 있다. 역함수정리의 증명은 부록에 두지만, 마지막 결론의 등식은 항등식 $f^{-1}(f(x))=x$ 에 합성함수 미분법(*)을 적용하여 얻은 식

$\frac{df^{-1}}{dy}\cdot\frac{df}{dx}=1$

에서 바로 나온다.

(*) (합성함수 미분법에 대한 각주)
합성함수 미분법은 "미분가능한 함수 $y=f(x)$ 와 $z=g(y)$ 의 합성함수,composite_function $z=g(f(x))$ 는 미분가능하고 $\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}$ 이다."를 뜻한다. 이 법칙을 고차원에서 연쇄법칙,chain_rule이라 부르는 이유는 제 10장에서 밝힌다.

(김홍종 미적1+ p87 정리 6.1.4)

TODO 밑에 역함수미분공식과 MERGE?

Up: 역함수,inverse_function 정리,theorem

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