임펄스응답,impulse_response

임펄스 응답(impulse response)

정의: 어떤 선형시스템,linear_system에 임펄스 $\delta(t)$ 를 입력했을 때의 출력

표기:
$h(t)$ : continuous-time system impulse response
$h[n]$ : discrete-time system impluse response

Sub? :
FIR: finite-duration impluse response
IIR: infinite-duration impulse response
... Google:FIR IIR , rel. 필터,filter
시스템의 임펄스 응답은 길이가 유한할 수도 있고(즉, 유한한 개수의 $h[n]$ 샘플만 0이 아니고 나머지는 0임) 무한할 수 있다.
임펄스 응답의 길이가 유한한 경우 FIR(finite impulse response) 시스템이라 하고, 길이가 무한한 경우 IIR(infinite impulse response) 시스템이라고 한다.
(김명진 신시 p423)

QQQ 이건 항상 단위임펄스응답,unit_impulse_response과 동의어인지 아님 아닌 경우가 있는지?

시스템,system에
δ(t)를 입력,input했을 때 나오는 출력,output h(t)가 임펄스 응답.

입력이 $x(t)$ 일 때, 선형시스템의 출력을 $\ell[x(t)]$ 로 표기한다고 할 때
$\delta(t) \to \fbox{\ell[\cdot]} \to h(t)$
(이걸 $h(t)=\ell[\delta(t)]$ 로 나타낸다)

일반적 입력 $x(t)$ 에 대한 선형시스템의 출력
먼저 입력을 적분식으로 바꾸어 쓴다.
$x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$
시스템의 출력 식 $y(t)=\ell[x(t)]$ 에 대입한다.
$y(t)=\ell[x(t)]=\ell\left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) d\tau \right] = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\ell[\delta(t-\tau)]d\tau$
(적분,integration과 $\ell$ 은 다 선형성,linearity이 있으므로(i.e. 선형연산자,linear_operator이므로) $\ell$ 이 저렇게 들어갈 수 있다 or 적분연산이 나올 수 있다)
여기서, $\ell[\delta(t-\tau)]$ 는 지연된 임펄스에 대한 시스템 출력이므로, 시불변에 의해 $\ell[\delta(t-\tau)]=h(t-\tau)$ 이다. 이것을 대입하면 시스템 출력:
$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau$
이 적분,integration을 $x(t)$ 와 $y(t)$ 의 합성곱,convolution이라 부르며, 간단히 아래와 같이 연산자 $*$ 를 써서 나타낸다.
$y(t)=x(t)*h(t)$

정리하면 LTI system에서 임의의 입력,input에 대한 출력,output은, (모든 입력을 일일이 집어넣어 볼 필요 없이,)
임펄스응답만 알고 있다면 입력과의 convolution 적분으로 알아낼 수 있다.

convolution의 성질
(14:10)
기호: $*$
성질:
  1. 교환성 (교환법칙,commutativity) $f(t)*g(t)=g(t)*f(t)$
  2. 분배성 (분배법칙,distributivity) $f(t)*[g(t)+h(t)]=f(t)*g(t)+f(t)*h(t)$
  3. 결합성 (결합법칙,associativity) $f(t)*[g(t)*h(t)]=[f(t)*g(t)]*h(t)$
  4. 추이성(shift property) (22:30)
    $f(t)*g(t)=C(t)$ 일 때,
    $f(t)*g(t-T)=C(t-T)$ (하나를 delay한 것의 convolution은 convolution의 delay와 같다) (convolution은 시불변이다. i.e. convolution operator는 time invariant.)
    $f(t-T)*g(t)=C(t-T)$
    $f(t-T_1)*g(t-T_2)=C(t-T_1-T_2)$
  5. impulse와의 convolution (동영상 2.-2 '컨볼루션 적분')
    $f(t)*\delta(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=f(t)$
    (impulse는 convolution operator의 항등원,identity_element이다)
    (- 좀 찾아보니 엄밀한 건 아니고 '항등원 역할을 한다' 정도? chk. Google:impulse convolution identity.element )
  6. 폭(width): $f_1(t)$ 의 폭이 $T_1$ 이고 $f_2(t)$ 의 폭이 $T_2$ 라면 $f_1(t)*f_2(t)$ 의 폭은 $T_1+T_2$
  7. 인과성,causality과 관련하여
    인과적 신호 // causal_signal ?
    $f(t)=0$ if $t<0$
    8. 인과적 시스템의 임펄스 응답 // impulse response of causal_system ?
    $h(t)=0$ if $t<0$

// via 최권휴 http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1263807 2. 임펄스 응답 과 컨볼루션

[edit]

CHK

어떤 시스템,system의 impulse response는 impulse_function(curr. 디랙_델타함수,Dirac_delta_function) $(\delta)$ 을 그 system에 입력했을 때 나오는 출력?
중요하므로 그냥 $y$ 뿐만 아니라 $h$ 라는 별도의 표기 문자가 있는?

(이하 여러 언급들, chk)

impulse response를 알면 임의의 입력에 대한 출력을 알 수 있다.

impulse response가 시스템,system에 관해 어떤 입력이 들어갔을 때 어떤 출력이 나오는지에 대해 모든 것을 알고 있다.

impulse response를 아는 것은 시스템을 아는 것이다.

system에 대한 얘기를 impulse response에 대한 얘기로 환원할 수 있다.


라플라스_변환,Laplace_transform
전달함수,transfer_function
이것(unit impulse response)의 라플라스 변환은 시스템의 전달함수 H(s).
transfer function of system = H(s) = Laplace transform { unit impulse response }.


AKA unit sample response[1]



----