적률,moment

평균을 일반화한 것..?

자연수 $m$ 에 대해
$E(X^m)$
을 $X$ 의 $m$ 번째 적률( $m$ th moment ) 로 정의함.

첫번째 적률 E(X1)은 평균,mean,average. 기대값,expected_value도? - 대표값,평균값,중앙값,최빈값?
두번째 적률 E(X2)은 분산,variance.
세번째 적률 E(X3)은 왜도,skewness.
네번째 적률 E(X4)은 첨도,kurtosis.

[edit]

tmp 0


Average(mean):
$\langle x \rangle = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}=\frac1N\sum_{i=1}^N x_i$

The nth moment:
$\langle x^n \rangle = \frac{x_1^n+x_2^n+\cdots+x_N^n}{N}=\frac1N\sum_{i=1}^N x_i^n$

QQQ langle rangle 표기는 network_theory / graph_theory에서 자주 쓰이는듯? 저기선 전체 수를 $n$ 보다는 $N$ 으로 표기하는 경향도 보이는데.

[edit]

tmp 1

from https://hsm-edu.tistory.com/756?category=810686 (글 3개) ; chk
물리에서
0차적률 질량,mass
1차적률 질량중심,mass_center
2차적률 관성모멘트,moment_of_inertia
통계학에서
1차적률 평균,mean,average
2차적률 분산,variance
3차적률 왜도,skewness
4차적률 첨도,kurtosis
$n$ 차 적률의 정의는, (언급이 없으면 c=0으로 간주)
$\mu_n=\int_{-\infty}^{\infty}(x-c)^n f(x)dx$
보다시피,
평균 E(X)는 n=1, c=0인, 1차 적률.
분산 V(X)는 n=2, c=(평균)인, 2차 적률.
적률생성함수,moment_generating_function,MGF
{
AKA 모멘트생성함수, moment generating function, mgf

Bmks


tmp from http://blog.naver.com/mykepzzang/220846464280
and Namu so CHK
{
특정 확률분포,probability_distribution의 적률을 생성하는 함수.
적률,moment은 물리의 모멘트,moment에서 가져온 개념.

확률변수의 적률(모멘트).............
확률변수,random_variable 혹은 확률분포의 $n$ 차 적률 혹은 $n$ 차 모멘트란, 확률변수를 n번 거듭제곱한 것의 기대값,expected_value.
$\mu_n=\mathbb{E}[X^n]$
적률생성함수는 이 적률을 계수로 갖는 급수,series.
$M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]$

만약 위 기대값이 $t=0$ 근방에서 수렴한다면, 다음처럼 급수전개가 가능함을 증명할 수 있다고. (다만 확률변수 $e^{tX}$ 가 $t=0$ 근방에서 적분가능해야 의미가 있음)
$M_X(t) = \mathbb{E}\left[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(tX)^k}{k!}\right] = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} \mathbb{E}[X^k]$
따라서 테일러_정리,Taylor_theorem에 의해 $\mu_n = M^{(n)}(0)$ 을 얻을 수 있다 함.



TBW
무게중심, 아니 질량중심,mass_center과?



Sub: 결합적률생성함수 joint mgf 결합적률생성함수,joint_moment_generating_function,joint_MGF
{
결합적률생성함수, joint moment generating function, joint mgf


from Namu:적률생성함수
{
확률변수,random_variable $X$ 가 다음과 같은 다변수확률변수일 경우,
$X=(X_1,X_2,\cdots,X_n)$
적률생성함수의 테일러_급수,Taylor_series는 결합적률,joint_moment
$\mu_{(k_1,k_2,\cdots,k_n)}=\mathbb{E}[X_1^{k_1},X_2^{k_2},\cdots,X_n^{k_n}]$
을 나타냄.





}

}

모멘트,moment와 이름이 같음. QQQ 관계?

일차모멘트=일차적률: 질량중심,mass_center - curr goto 질량,mass#s-7
TODO 아래 내용 질량중심,mass_center, 혹은 first_moment 혹은 moment(모멘트,moment or 적률,moment?) 중 적당한 곳으로 옮기거나 정리.
{
시소(seesaw)에서, 질량,mass이 각각 $m_1,m_2$ 인 물체가 시소 중심으로부터 각각 왼쪽으로 $d_1,$ 오른쪽으로 $d_2$ 인 거리,distance 인 지점에 있다면 평형을 이루기 위한 필충조건은
$m_1d_1=m_2d_2$
QQQQ증명

점질량이 $m_1,m_2$ 인 물체가 각각 위치 $x_1,x_2(x_1<x_2)$ 에 있으면 질량중심 $x_{\rm cm}$ 은 위 식에 따라
$m_1(x_{\rm cm}-x_1)=m_2(x_2-x_{\rm cm})$
$x_{\rm cm}$ 에 대해 정리하면
$x_{\rm cm}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$

일반적으로 $n$ 개의 질량 $m_1,\cdots,m_n$ 이 각각 $x_1,\cdots,x_n$ 에 놓여 있을 때 질량중심은
$x_{\rm cm}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}$
여기서 분자의 식 : 일차능률(first moment)
분모 : 전체 질량

(질량중심) = (일차능률) / (전체 질량)

단위길이당 질량인 밀도,density $\rho(x)$ 인 물질이 위치,position $x=a$ 부터 $x=b$ 까지 길이,length $L$ 인 곳에 펼쳐져 있을 때,
밀도가 상수 $\rho$ 이면, 질량 $m=\rho L$ 이다.
밀도가 변하면, 구간,interval $[a,b]$ 를 같은 크기의 $n$ 개로 나누어 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ 이라 하고, 각 소구간과 그 안의 한 점 $[x_{i-1},x_i]\ni c_i$ 이 있으면
$i$ 번째 조각의 질량은 $\rho(c_i)\Delta x$ 이고
이 계의 이산적(?) 일차능률은
$M_n=[\rho(c_1)\Delta x]c_1+[\rho(c_2)\Delta x]c_2+\cdots+[\rho(c_n)\Delta x]c_n$
$=[c_1\rho(c_1)+c_2\rho(c_2)+\cdots+c_n\rho(c_n)]\Delta x$
$=\sum_{i=1}^{n}c_i\rho(c_i)\Delta x$
연속적(?) 일차능률은 극한을 취하면
$M=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}c_i\rho(c_i)\Delta x=\int_a^b x\rho(x)dx$
물체의 질량중심은
$x_{\rm cm}=\frac{M}{m}=\frac{\textstyle\int_a^b x\rho(x)dx}{\textstyle\int_a^b \rho(x)dx}$

from https://blog.naver.com/dydrogud22/220065026152 chk


[edit]

Bmks ko

수리통계학에서의 기대값, 평균, 분산, 적률의 정의 https://freshrimpsushi.github.io/posts/expectation-mean-variance-moment/ - 중간쯤에 적률 정의