기호
보통 대문자로 표기하는듯. Event의 앞글자 E나, A, B 등.
S : certain event (밑의 Sub 참조)
∅ : impossible or null event (밑의 Sub 참조)
(이하 - 사건의 표기와 확률의 표기의 연관성 - 이라 하면 되나?)
사건 표기중에 가능한 것 (Schaum Prob, RV and RP)
그리고
사건 (X = x)의 확률은 P(X = x),
사건 (X ≤ x)의 확률은 P(X ≤ x),
…인 것.
사건의 확률 표기
정의:
Ex.
주사위를 던지는
시행,trial의 표본공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6}이며 '짝수인 눈이 나온다'는
사건
동전을 던지는 시행의 표본공간은 {H, T}이며 '앞면이 나온다'는
사건
QQQ 보통 표본공간의 모든 원소(=결과,outcome) 중에서 특정한 조건,condition을 만족하는 것을 뽑은 부분집합?
"전압이 음수이다"라는
사건은 집합
에 해당.
"사건이 발생했다" ⇔ "실험의
결과,outcome ζ가 사건(집합)에 속한다, 즉 ζ ∈ E"
그래서
사건의 연산은
집합,set의 연산. (set_operation .. 합집합union, 교집합intersection, 여집합complement, 차집합difference, etc.)
결과,outcome와 비슷한데 정확한 관계가....?
결과는 원소이고 사건은 결과로 이루어진 집합.
1. Sub: 여러 사건 ¶
elementary event
discrete sample space에서 나온 single outcome으로 이뤄진 이벤트.
원소가 하나인 집합에 대응.
... singleton?
근원사건(elementary event), 근원사상, 표본점(sample point): single outcome from a discrete sample space.
//QQQ CHK 그럼
elementary event(=sample point)는 원소 수가 1인 집합이고
결과,outcome는 집합이 아닌 원소인가?
///mv to
근원사건,elementary_event
certain_event
certain event
(consists of all outcomes, always occurs)
=S(
표본공간,sample_space)
contains all outcomes
전체집합,universal_set에 대응.
수학백과: 전사건(https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338091&cid=47324&categoryId=47324) aka 전체사건
전사건의 여사건은 공사건.
impossible_event
null event, impossible event
(contains no outcomes, never occurs)
has no outcome
공집합,empty_set에 대응.
A∩B=∅이면, A와 B 두 사건은 상호 배타적(mutually exclusive)이라 한다. (또는 서로소.
disjoint?)
수학백과: 공사건(https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338090&cid=47324&categoryId=47324)
공사건의 여사건은 전사건.
영사건
일어날 확률이 0인 사건.
공사건은 영사건이지만, 영사건이 항상 공사건인 것은 아님.
수학백과: 영사건(https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405227&cid=47324&categoryId=47324)
두 사건 A, B에 대해
합사건, 합사상: A∪B
곱사건, 곱사상: A∩B
(A의) 여사건, 여사상: A
C
(서로) 배반사건, 배반사상: A∩B=∅ (i.e. 곱사건이
공집합,empty_set)
여사건
여사건,complementary_event
표기법: 다양(A̅, A
C, A', ¬A) (wp)
chk: 사건 A의 확률이 p이면 사건 A의 여사건의 확률은 1−p? - yes
P(AC) = 1 − P(A)
Uses: 다음 공식에 나옴: 반복시행(curr at
시행,trial),
베르누이_시행,Bernoulli_trial, ...
rel.
여집합,complement or
여집합,set_complement or
여집합,complement_set
여사건
Complementary_event
MKLINK:
complement,
logical_complement,
set_complement
A와 B가 서로 배반사건 :
A∩B = {}
따라서 그 때 다음 관계가 성립
P(A∩B) = 0,
P(A∪B) = P(A) + P(B) (배반사건의 확률, 확률의 덧셈법칙)
See
수학백과: 확률의 덧셈법칙 or 덧셈정리(https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338195&cid=47324&categoryId=47324)
3. 비교: 배반사건과 독립사건 ¶
| A와 B가 배반 | A와 B가 독립 |
의미 | 동시에 일어나지 않는다. | 일어날 확률에 서로 영향이 없다. |
관계식 | P(A∩B)=0 | P(A|B)=P(A)
P(A∩B)=P(A)P(B) |
4. 사건의 독립 및 종속 ¶
사건 A와 B가 있다면,
P(B|A)=P(B)
일 때, 사건 B는 A에 대해 독립이다. 이 때
=P(B|AC)
도 성립한다.
사건 A, B가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은
P(A∩B)=P(A)P(B)
이다.
독립이 아니면 두 사건은 서로 종속이라고 한다.
pf.
P(A|B)
=P(A∩B)/P(B)
=P(A)P(B)/P(B)
=P(A)
A, B가 독립이면
- P(B|A) = P(B|AC) = P(B)
- P(A∩B) = P(A)·P(B)
- AC, BC도 독립
A, B 서로 독립: A⊥B로 표기
A
1, A
2 and A
3 are independent iff
- A1⊥A2
- A2⊥A3
- A3⊥A1
- P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)
Events A
1, A
2, …, A
m are independent iff
- Every set with m-1 events from A1, …, Am are independent
- P(A1…Am)=P(A1)P(A2)…P(Am)
이하 RR에서 옮겨옴. to merge.
5. Mutually Exclusive Events ¶
mutually exclusive
Two events,
such that
are said to be mutually exclusive.
A collection of events,
is said to be
mutually exclusive if for all pairs,
For a collection of mutually exclusive events,
사건,event의 mutually exclusive & collectively exhaustive한 집합을
사건공간,event_space이라고 한다.
6. 독립사건 independent event ¶
수학백과: 독립사건(https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338160&cid=47324&categoryId=47324)
두 사건 A와 B가 서로
배반사건:
A, B가 배반사건이면 다음 관계가 성립.
AKA 서로소인 사건, disjoint event, exclusive event (
분리,disjoint. curr goto
결합,joint)
수학백과: 배반사건(https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338088&cid=47324&categoryId=47324)
8. 배반사건이면서 독립사건 ¶
- A, B중 적어도 하나의 확률은 0이어야 함
즉 P(A)>0, P(B)>0 일 때 A와 B가
독립사건이면 배반사건이 될 수 없고
배반사건이면 독립사건이 될 수 없음
9. 사건 클래스 event class ¶
tmp from Leon-Garcia 2.1.4 Event Classes
{
sample space:
event:
의 부분집합
event class:
class
of events of interest
Only events in this class are assigned probabilities.
관심이 가는 사건만 집합을 모아서 거기서만 확률을 계산하는 듯.
이 중에 일정 성질을 가지는 부분집합을 Borel field(kms: 보렐 집합체; curr goto
체,field)라 한다.
사건,event들(events: sets)의 집합(set)임. 즉 set of sets.
Notation: calligraphic 대문자를 쓰는 듯.
ex. 2.8.
coin toss의 outcome이 S={T,H}이고, S의 모든 부분집합은 event이다. S의 모든 가능한 events는?
={∅,{H},{T},{H,T}}
즉,
는 공집합과 S를 둘 다 포함한다.
유한표본공간(finite sample space)
에 대해, S의 모든 부분집합이
사건,event이 되도록 허용한다. 이런 사건클래스(class of events)를 power set of S라 부르고
로 표기한다.
11.1. CS, programming, SW development에서 ¶