생성,span - VeryGoodWiki

//chk and 엄밀하게 rewrite

벡터 하나의 span은 single line. - 직선,line
(종속이 아니고 독립인?) 두 벡터의 span은 plane. - 평면,plane
종속인 벡터는 (basis에?) (추가해봤자) span을 증가시키지 못함.

수식으로 (대충임, 정확한 조건 등 확인 후 추가 필요)
$\operatorname{Span}\{ v_1,v_2 \}$ 은 평면을
$\operatorname{Span}\{ v_1,v_2,v_3 \}$ 은 공간을

기저,basis가 주어졌을 때, set of all possible 선형결합,linear_combinations?

AKA 펼침
AKA spanning, spanning set, 생성집합, spanning subset 모두같은지CHK - 혹시 span(n./v.)/spanning(n.)은 행동이고 span(n.)/spanning set은 그 결과인가?
{
Let $V$ be a vector space and let $S=\lbrace \vec{v_1},\cdots,\vec{v_k}\rbrace$ be a subset of $V.$ Define the set

$\textrm{Span}(S):=\lbrace a_1\vec{v_1}+\cdots+a_k\vec{v_k} \,:\; a_i\in\mathbb{R},\, i=1,\cdots,k \rbrace.$

Note that $\textrm{Span}(S)\le V.$
If $\textrm{Span}(S)=V,$ then we say that $S$ spans $V$ and $S$ is called a spanning subset of $V.$
[https]

src

$S$ 가 벡터공간 $V$ 의 임의의 벡터들 $\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n}$ 의 집합이라 하면, 스칼라들 $k_1,\ldots,k_n$ 에 대하여

$\left\{ k_1\vec{x_1} + k_2\vec{x_2} + \cdots + k_n\vec{x_n}\right\}$

의 형태의 합을 $\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n}$ 의 일차결합(=선형결합,linear_combination)이라 부른다.

벡터들 $\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n}$ 의 모든 일차결합들의 집합을 그 벡터들의 생성,span이라 하고 $\text{Span}(S)$ 또는 $\text{Span}(\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n})$ 으로 나타낸다.

$\text{Span}(S)$ 가 벡터공간 $V$ 의 부분공간,subspace이 됨을 보이는 것은 연습문제로 남겨 둔다. // => 연습문제 7.6 문제 33

$\text{Span}(S)$ 는 벡터들 $\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n}$ 에 의하여 생성된(spanned) 부분공간이라 한다.

벡터공간 $V$ 의 모든 벡터를 $S$ 에 있는 벡터들의 일차결합으로 쓸 수 있으면, 즉 $V=\text{Span}(S)$ 이면, $S$ 를 $V$ 의 생성집합(spanning set)이라 한다. 예를 들면 세 집합

$\{{\rm i},{\rm j},{\rm k}\},\;\{{\rm i},{\rm i}+{\rm j},{\rm i}+{\rm j}+{\rm k}\},\;\{{\rm i},{\rm j},{\rm k},{\rm i}+{\rm j},{\rm i}+{\rm j}+{\rm k}\}$

각각이 벡터공간 $\mathbb{R}^3$ 의 생성집합이다. 이 개념을 써서 (책에서 앞서 언급했던) 벡터공간의 기저와 차원을 다음과 같이 정의할 수도 있다.

⇒ 벡터공간 $V$ 의 벡터들 $\{\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n}\}$ 의 집합 $S$ 가 $V$ 의 생성집합이고 일차독립이면 $S$ 는 $V$ 의 기저,basis이다. 이 생성집합 $S$ 에 있는 벡터의 개수는 $V$ 의 차원,dimension이다.

(Zill 6e ko p444)
}

일단 간단히 두 벡터의 경우만 보면
The span of $\vec{v}$ and $\vec{w}$ is the set of all their linear combinations.

$a\vec{v}+b\vec{w}$

Let $a$ and $b$ vary over all real numbers: $\forall a,b\in\mathbb{R}$
그래서 2D에서 $\vec{v},\vec{w}$ 의
방향이 같으면 span은 직선.
방향이 다르면 span은 평면 전체. 3D에서는 공간 중에서 한 평면만.
(영벡터는 없는 걸로 가정하는 듯)
이후 내용:
v, w 방향이 같으면 linearly dependent.
v, w 방향이 다르면 linearly independent. (CHK)
"Linearly dependent"

$\vec{u}=a\vec{v}+b\vec{w}$ for some values of $a$ and $b$

"Linearly independent"

$\vec{w}\ne a\vec{v}$ for all values of $a$

Technical definition of basis:

The basis of a vector space is a set of linearly independent vectors that span the full space.

(https://www.youtube.com/watch?v=k7RM-ot2NWY 중간 쯤)

AKA 생성공간 from [http]

src p21-22 CHK
{
생성공간(span): 성분의 수가 같은 벡터들에 관한 일차결합으로 표환(표현?)되는 모든 벡터들의 집합

부분공간,subspace: 벡터공간,vector_space에서 정의된 벡터합과 스칼라곱에 대해 닫혀있는 부분집합
행공간,row_space: 행벡터들의 생성공간
열공간,column_space: 열벡터들의 생성공간
행공간과 열공간은 차원,dimension이 같고, 행렬의 계수,rank와도 동일.
영공간,null_space: Ax=0의 해집합
퇴화차수,nullity: 영공간의 차원

A의 계수 + A의 퇴화차수 = A의행계수(?)

}

CHK
{
벡터,vector들을 선형결합,linear_combination을 한 모든 경우의 집합

$\operatorname{span}(S)=\left\lbrace \textstyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i \vec{v_i} \middle| k\in\mathbb{N},\, \vec{v_i}\in S,\, \lambda_i\in K \right\rbrace$
https://wegonnamakeit.tistory.com/40 여기서 본건데 K가 뭐람. 아무튼.

}

If $\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}$ are in $\mathbb{R}^n,$ then the set of all linear combinations of $\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}$ is denoted by

$\mathrm{Span}\left{\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}\right}$

and is called the

subset of $\mathbb{R}^n$ spanned (or generated) by $\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}.$

That is, $\mathrm{Span}\left{\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}\right}$ is the collection of all vectors that can be written in the form

$c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}+\cdots+c_p\vec{v_p}$

with $c_1,\cdots,c_p$ scalars.

(Lay)

If $S$ denotes any set of vectors $\left{\vec{x_1},\vec{x_2},\cdots,\vec{x_n}\right}$ in a vector space $V,$ then the set of all linear combinations of the vectors $\vec{x_1},\vec{x_2},\cdots,\vec{x_n}\in S,$

$\left{k_1\vec{x_1}+k_2\vec{x_2}+\cdots+k_n\vec{x_n}\right},$

is called the span of the vectors and written

$\textrm{Span}(S)$ or $\textrm{Span}(\vec{x_1},\vec{x_2},\cdots,\vec{x_n}).$

Span(S) is a subspace of the vector space V.

( $k_1,k_2,\cdots,k_n$ are scalars )

(Zill 7.6 끝부분)

영벡터의 생성은 영벡터 뿐 (당연. 영벡터에 뭐를 곱해도 영벡터이므로)

어떤 생성 집합만으로는 벡터를 유일하게 표현할 수 없을 수 있다. 여기서 나오는 개념이 일차독립=선형독립,linear_independence이다.

(차원,dimension과 기저,basis를 먼저 정의한 후, 바로 뒤에)

성분의 수가 같은 벡터들 $\vec{a_1},\cdots,\vec{a_p}$ 이 주어졌다고 하고, 이들의 선형결합,linear_combination으로 표현되는 모든 벡터들의 집합을 이들 벡터들의 생성공간(span)이라 한다. 생성공간은 그 자체로 벡터공간,vector_space이 됨을 알 수 있다. 만일 주어진 벡터들 $\vec{a_1},\cdots,\vec{a_p}$ 이 선형독립,linear_independence이라면, 이 벡터들은 해당 생성공간의 기저,basis임을 알 수 있다.
이 사실은 기저를 다른 방식으로 정의할 수 있게 해 준다. 벡터공간 V에 속한 몇 개의 벡터들로 집합을 만들었다고 하자.

(1) 이 집합의 벡터들이 선형독립이고,
(2) V에 속한 임의의 벡터는 이 집합의 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다면,

이 집합은 V의 기저이다.
참고로, 성질 (2)가 성립할 때, 그 집합의 벡터들이 벡터공간 V를 생성한다라고 말한다.

행렬 A에 대해, 그

행벡터,row_vector들의 생성공간을 행공간,row_space,
열벡터,column_vector들의 생성공간을 열공간,column_space

이라고 부른다.

행렬 A의 행공간과 열공간의 차원이 같고 rank(A)와 동일하다는 내용 생략. TBW.

행렬 A에 대한 제차연립방정식 Ax=0의 해를 모두 모은 해집합을 A의 영공간,null_space이라 부르며, 이는 벡터공간이다. 또한 영공간의 차원을 A의 퇴화차수,nullity라 한다. 다음 절에서 (A의 계수) + (A의 퇴화차수) = (행렬 A의 행 개수)를 증명할 것이다. (대충 적음)

(Kreyszig 7.4 벡터공간)