기울기벡터,gradient_vector

각 변수에 대한 편미분,partial_derivative을 순서쌍(tuple의 element?)으로 하는 벡터,vector를 기울기벡터 또는 그레이디언트(gradient)(기울기,gradient)라고 한다.

점 $A$ 에서 편미분은 아래와 같은 벡터를 만드는데
$\nabla f(A)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(A),\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(A)\right)$
이를 점 $A$ 에서 $f$ 의 기울기벡터라고 한다.

// from 수학백과: 편도함수 # 기울기 벡터

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tmp from 수학백과: 기울기 벡터

일변수함수의 미분계수,differential_coefficient는 함수 그래프에서 접선,tangent_line의 기울기,slope를 나타냄.
다변수함수의 기울기벡터,gradient_vector는 함수 그래프에서 접평면,tangent_plane의 기울기,gradient를 나타냄.
- chk

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tmp; 선형계획법linear_programming에서, easy[1]

'가장 빨리 증가하는 방향'에 밀접.

목적함수가 $z=6x_1+3x_2$ 라면, 목적함수 값이 가장 빨리 증가하는 방향은? 벡터 $(2,1)$ 방향. 이것의 기울기는 1/2이므로, (그것과 직교인) 기울기가 −2인 직선을 실행가능영역(feasible_region, feasible_set ...대충, simplex의 꼭짓점?)의 정점(extreme_point)에 갖다 대서 최적해(z가 최대/최소인 점)를 찾기(i.e. z를 최대화/최소화하기)가 가능.

$z=-x_1+x_2$ 의 Max가 되는 점을 찾으려면? 가장 빨리 증가하는 방향은 벡터 $(-1,1)$ 방향.

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tmp

tmp videos en
https://www.youtube.com/watch?v=QQPz3eXXgQI Bazett
{
$z=f(x,y)$ 에 대한 contour plot이 있는 상황.
식 $f(x(t),y(t))=C$ 를 만족하는 (그러니까 z가 일정) 곡선 $\vec{r}(t)=x(t)\hat{\rm i}+y(t)\hat{\rm j}$ 를 따라
$\frac{d}{dt}f \left(x(t),y(t) \right)=\frac{d}{dt}C$
이다. 연쇄법칙,chain_rule을 써서
$\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}=0$
두 벡터의 dot product로 나타내면
$\left( \frac{\partial f}{\partial x}\hat{\rm i} + \frac{\partial f}{\partial y}\hat{\rm j} \right) \cdot \left( \frac{dx}{dt}\hat{\rm i} + \frac{dy}{dt}\hat{\rm j} \right) = 0$
왼쪽은 grad(f)이고 오른쪽은 r의 미분이므로 다시 쓰면
$\nabla f\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}=0$
내적 왼쪽은 level curve의 normal vector, 오른쪽은 level curve의 tangent vector. i.e.
$\underbrace{\nabla f}_{\uparrow\atop\textrm{normal}} \cdot \underbrace{\frac{d\vec{r}}{dt}}_{\uparrow\atop\textrm{tangent}}=0$

방향도함수,directional_derivative는
$D_{\vec{u}}f(x_0,y_0)=\left. \nabla f \right|_{(x_0,y_0)} \cdot \vec{u} = |\nabla f| |\vec{u}| \cos\theta$
이것은 위 식과 비슷하게 ∇f 뒤에 dot product 형태....

$\theta=\frac{\pi}{2}$ 일 때 smallest magnitude.
i.e. $\frac{d\vec{r}}{dt}$ 는 최소 기울기의 방향. (dr/dt is direction of minimum slope)

$\theta=0$ 일 때 largest magnitude.
i.e. $\nabla f$ 는 최대 기울기의 방향. (∇f is direction of maximum slope)

그림으로 예를 들면 (안장,saddle)
https://i.imgur.com/4cNCX0T.png


dddddddddddd
}
tmp; from https://jebae.github.io/2019/02/25/gradient-vector/
삼변수 x,y,z의 함수 f에 대해 f의 gradient vector:
$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k$
(i,j,k는 단위방향벡터)
함수의 어느 지점에서 기울기가 가장 큰 벡터.


이변수 함수 $z=f(x,y)$ 에 대해서 기울기벡터의 정의는
$\nabla f=\langle f_x,f_y \rangle = \left\langle \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right\rangle$

기울기(gradient)와의 차이......?? 일단 기호는 둘 다 $\nabla f$ 같은데...
방향도함수,directional_derivative와의 비교??


links:
방향도함수와 접평면의 방정식 https://pinkwink.kr/207
see also 방향도함수,directional_derivative 접평면,tangent_plane




AKA 그레이디언트 벡터, 구배 벡터

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