정적분은 리만_합,Riemann_sum의 극한,limit으로 정의.

표기와 용어

$\int_a^b f(x)dx$

에서,

∫ : integral sign (적분기호)
f(x) : integrand (피적분함수)
x : variable of integration
a, b : limits of integration (적분한계)

a : lower limit (하한)
b : upper limit (상한)

곡선,curve 밑의 넓이,area(다만 그냥 넓이가 아닌 부호,sign가 있는 넓이)나
입체의 부피,volume 등을 구할 때 자주 쓰임

(일반화?) 그리하여 측도,measure와 가측성,measurability에 밀접

역사적으로 구분구적법,measuration_by_parts에서 출발??

QQQ measuration 말고 mensuration? 아님 둘 다?

구적법 : 정적분 값을 근사하는 방법

2. 미적분학의 기본정리에서 정적분 값 구하는 공식 이끌어내기

3. 두 곡선 사이의 넓이

4. 회전체의 부피

4.1. 구의 부피 공식 유도

5. 회전체의 겉넓이

6. Numerical methods for definite integrals

7. 다른 표기 alternative notations

8. 정적분의 성질

9. 짝함수(우함수)의 정적분 / 홀함수(기함수)의 정적분

10. 기타

[edit]

1. 정적분의 정의 ¶

함수 $f(x)$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 연속일 때,
구간을 $n$ 등분 하여 양 끝점과 각 분점의 $x$ 좌표를 차례로

$a=x_0,x_1,\cdots,x_{n-1},x_n=b$

각 소구간의 길이는

$\Delta x=\frac{b-a}{n}$
$x_k=a+k\Delta x\quad(k=0,1,\cdots,n)$

이 때

$S_n=f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x+\cdots+f(x_k)\Delta x+\cdots+f(x_n)\Delta x$

$=\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x$

이면 극한값 $\lim_{n\to\infty}S_n$ 은 항상 존재하며, 이 극한값을

함수 $f(x)$ 의 $a$ 에서 $b$ 까지의 정적분

이라 하고

$\int_a^bf(x)dx$

로 나타냄

여기서

a, b는 각각 아래끝, 위끝,
구간 $[a,b]$ : 적분 구간,
$f(x)$ : 피적분함수,
$x$ : 적분변수

$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x$

$\left(\Delta x=\frac{b-a}{n},x_k=a+k\Delta x\right)$

$\int_a^{b}f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}\cdot k)\cdot\frac{b-a}{n}$

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20%5Cint_a%5E%7Bb%7Df%28x%29dx%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7Df%28a+%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D%5Ccdot%20k%29%5Ccdot%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D?.gif$

이상 고등학교식 정의의고 사실은 구간을 균일하게 분할,partition하지 않아도 됨. 그 정의는 리만_합,Riemann_sum 참조.

[edit]

2. 미적분학의 기본정리에서 정적분 값 구하는 공식 이끌어내기 ¶

함수 $F(x),f(x)$ 가

$\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$

를 만족하면, 미적분학의기본정리,FTC에서

$\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)$ 즉
$\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt-\frac{d}{dx}F(x)=0$

이므로 모든 $x$ 에 대해

$\frac{d}{dx}\left[\int_a^xf(t)dt-F(x)\right]=f(x)-f(x)=0$

이다. 도함수가 0인 함수는 상수함수이므로

$\int_a^xf(t)dt-F(x)=C$

이다. $x=a$ 를 대입하면 $-F(a)=C$ 임을 알 수 있으므로

$\int_a^xf(t)dt=F(x)-F(a)$

정리: 함수 $f(x)$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 연속이고 $F(x)$ 가 $f(x)$ 의 역도함수이면 다음이 성립.

$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=\left[F(x)\right]_a^b=\left.F(x)\right|_a^b$

[edit]

3. 두 곡선 사이의 넓이 ¶

두 곡선 $y=f(x),y=g(x)$ 와 두 직선 $x=a,x=b$ 로 둘러싸인 영역의 넓이:

$\int_a^b\left|f(x)-g(x)\right|dx$

[edit]

4. 회전체의 부피 ¶

구간,interval $[a,b]$ 에서 곡선,curve $y=f(x)$ 를 $x$ 축의 둘레로 회전하여 생기는 회전체의 부피,volume:

$\int_a^b\pi y^2 dx=\pi\int_a^b\left(f(x)\right)^2dx$

[edit]

4.1. 구의 부피 공식 유도 ¶

반지름이 r인 구,sphere의 부피,volume V는,
$V=\int_{-r}^{r} \pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2 dx$

$=\int_{-r}^{r} \pi(r^2-x^2)dx$
$=2\pi\int_0^r (r^2-x^2)dx$
$=2\pi\left[ r^2 x - \frac13 x^3 \right]_0^r$
$=\frac43\pi r^3$

[edit]

5. 회전체의 겉넓이 ¶

미분가능한 함수 $y=f(x),\;a\le x\le b$ 을 $x$ 축 주위로 회전하여 생긴 회전체의 겉넓이:

$\int_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx=\int_a^b2\pi yds$

TODO s등에 대한 설명이 부족함.. 길이함수

$s(t)=\int_a^t\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$ 를 이용하면, 즉
$ds=\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$ 를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다는데.
$S=\int_a^b2\pi f(x)ds$

CLEANUP

[edit]

6. Numerical methods for definite integrals ¶

left rule
right rule
midpoint rule
trapezoid rule

Approximate Integration 정적분의 근사값 계산 later related to 근사,approximation
subinterval
하합 lower sum/상합 upper sum/midpoint rule 중점법

QQQ lower/upper sum은 함수가 그 구간의 최소/최대일 때를 취한?

trapezoidal rule (사다리꼴) 을 만들어 근사, 즉 직선을 만들어 근사

수학백과: 사다리꼴 공식

Simpson's rule 이차다항식,polynomial을 만들어 근사

수학백과: 심프슨 공식

Hermite's rule

사다리꼴 공식 or 사다리꼴 규칙(trapezoidal rule), 포물선 공식, Simpson's rule ..

fork to 수치적분,numerical_integration - curr at 수치해석,numerical_analysis

ALSOIN 리만_합,Riemann_sum

[edit]

7. 다른 표기 alternative notations ¶

$\int_a^b f(x)dx = \int_{[a,b]}f(x)dx=\left[F(x)\right]_a^b=\left.F(x)\right|_a^b$

[edit]

8. 정적분의 성질 ¶

적분 순서 (리만_합,Riemann_sum에서 각 Δx의 부호가 변하므로, 극한값의 부호도 변한다.)

$\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$

폭이 0인 구간

$\int_a^a f(x)dx=0$

상수배

$\int_a^b kf(x)dx=k\int_a^b f(x)dx$

합과 차

$\int_a^b(f(x)\pm g(x))dx=\int_a^b f(x)dx\pm\int_a^b g(x)dx$

정적분의 가법성

$\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx=\int_a^c f(x)dx$

최대-최소 부등식,inequality : 함수 $f$ 가 $[a,b]$ 에서 최대값 $\max f$ 와 최소값 $\min f$ 를 갖는다면

$\min f\cdot (b-a)\le \int_a^b f(x)dx \le \max f \cdot (b-a)$

지배성

$f(x)\ge g(x)\text{ on }[a,b] \;\Rightarrow\; \int_a^b f(x)dx\ge \int_a^b g(x)dx$
특별한 경우
$f(x)\ge 0\text{ on }[a,b] \;\Rightarrow\; \int_a^b f(x)dx\ge 0$

(Thomas 13e ko p255밑-257)

[edit]