sum of series 는 뭐지?
항 term
부분합 partial sum ... 부분합,partial_sum
발산 diverge, divergent, divergence (발산,divergence과 관계가?)
절대수렴/조건수렴
수열 - 급수 - (..) - (..) - ... 이렇게 한없이 확장/누적/...될 수 있는건지? 그렇다면 저것의 이름은? QQQ
수열과 급수에 대한 관심사 (강우석)- 수렴하는가, 발산하는가?
- 수렴한다면 값은 얼마인가?
- 값을 정확하게 정하지 못한다면, 얼마나 빨리 수렴하는가? - 몇 항 까지 구하면 오차,error가 얼마 이상으로 작아지는지 등등 - rel. 수치해석,numerical_analysis
항 term
부분합 partial sum ... 부분합,partial_sum
무한급수,infinite_series를 나타낼 때는 보통 부분합을 식으로 나타낸 다음 그것에서 마지막 항 index가 무한으로 가는 극한,limit을 생각하는 ..? chk ... QQQ 항상 이런 패턴 같은데 이 이외의 다른 방법은?
기호는 보통 등
유한급수(finite series), 무한급수(infinite series) 암튼 정의상, 무한급수의 부분합의 극한이 실수로 존재하면 the series is convergent하고 그게 무한급수의 합,sum이며 존재하지 않으면 the series is divergent하다.
ex. 기호는 보통 등
: 유한급수,finite_series
: 무한급수,infinite_series
무한개 덧셈하면 무한급수,infinite_series?
무한급수에는 수렴급수와 발산급수가 있음.
수렴 converge, convergent, convergence: 무한급수,infinite_series
무한개 덧셈하면 무한급수,infinite_series?
무한급수를 줄여 급수로 부르기도 함.
무한급수의 경우 (?) 수렴/발산 여부를 알아내는 수렴판정법,convergence_test이 있음무한급수에는 수렴급수와 발산급수가 있음.
발산 diverge, divergent, divergence (발산,divergence과 관계가?)
절대수렴/조건수렴
급수전개 급수전개,series_expansion
멱급수전개 - curr goto 멱급수,power_series#s-3; later 멱급수전개,power_series_expansion
테일러급수전개 - curr goto 테일러_급수,Taylor_series; later 테일러_전개,Taylor_expansion
매클로린급수전개 - see 매클로린_급수,Maclaurin_series
https://mathworld.wolfram.com/SeriesExpansion.html
급수해,series_solution - see 해,solution테일러급수전개 - curr goto 테일러_급수,Taylor_series; later 테일러_전개,Taylor_expansion
매클로린급수전개 - see 매클로린_급수,Maclaurin_series
https://mathworld.wolfram.com/SeriesExpansion.html
// 무한급수는, 수렴/발산 여부에 따라 (아래) 수렴급수/발산급수 로 나뉜다 (wpko)
수렴급수
수렴급수
절대수렴급수
조건수렴급수
발산급수조건수렴급수
유한등비급수
무한등비급수
무한등비급수
Sub:
무한급수,infinite_series
조화급수,harmonic_series
기하급수,geometric_series
멱급수,power_series
테일러_급수,Taylor_series
p급수,p-series
푸리에_급수,Fourier_series
교대급수,alternating_series
디리클레_급수,Dirichlet_series
로랑_급수,Laurent_series - writing
초기하급수,hypergeometric_series - writing
이중급수,double_series - writing
발산급수,divergent_series - writing
조화급수,harmonic_series
기하급수,geometric_series
멱급수,power_series
테일러_급수,Taylor_series
p급수,p-series
푸리에_급수,Fourier_series
교대급수,alternating_series
디리클레_급수,Dirichlet_series
로랑_급수,Laurent_series - writing
초기하급수,hypergeometric_series - writing
이중급수,double_series - writing
발산급수,divergent_series - writing
1. 양항급수 series of positive terms ¶
양항수열: 모든 항이 0 이상인 수열
양항급수: 양항수열의 무한급수
양항급수: 양항수열의 무한급수
일 때 무한급수
을 양항급수라 한다.
양항급수의 비교
{an}, {bn}이 양항수열일 때 다음이 성립.
{an}, {bn}이 양항수열일 때 다음이 성립.
- 이고 이 수렴하면 도 수렴.
- 이 수렴하고 이 수렴하면 도 수렴.
4. easy; TOMERGE ¶
급수가 유한한 값으로 수렴하면 수렴(convergent),
그렇지 않으면 발산(divergent).
그렇지 않으면 발산(divergent).
더할 때는 순서가 중요. 앞에서 하나씩 더해준 것이 부분합.
정의:
수열 {an}에 대하여
이라 하고(부분합), 수열 {Sn}이 S로 수렴하면
또는
로 나타내고, S를 급수 의 합이라 한다.
“급수 이 수렴한다”
고 하고, 대충 급수/수열/수렴vs발산/극한의 관계?
: 수렴
: 발산
: 발산
...
Thm. is convergent
Pf.
The test for divergence
is divergent.
is divergent.
5. 옛날 사람들의 생각 ¶
그랜디는
라고 생각했으며, 라이프니츠는
짝수항까지의 부분합
홀수항까지의 부분합
이므로 두 값의 평균 ½이 답이라고 생각.홀수항까지의 부분합
현대에는 그냥 발산으로 분류??
1703년 Grandi는 급수
에 x=1을 대입하여
이므로 세계는 무에서 형성될 수 있음을 증명했다고 주장했다.
이에 대해 Leibniz는 짝수항까지의 합과 홀수항까지의 합의 평균 1/2이 결과라고 주장했다.
이에 대해 Leibniz는 짝수항까지의 합과 홀수항까지의 합의 평균 1/2이 결과라고 주장했다.
임의의 x에 대해 급수
의 값을 구하는 과정(?):
이므로 이면
를 대입하면
을 대입하면
무한합에서는 유한개의 합을 구할 때 적용되는 결합법칙,associativity이 성립하지 않기 때문.
(관련: 그란디 급수, 리만 재배열 정리)
, (그런데 우변을 묶는 법에 따라 다음 두 식도 가능)
,
같은 역설이 나온다.,
무한합에서는 유한개의 합을 구할 때 적용되는 결합법칙,associativity이 성립하지 않기 때문.
(관련: 그란디 급수, 리만 재배열 정리)
See also: https://parisinus04.tistory.com/10 (책 '틀리지 않는 법' 발췌)
18, 19세기 수학과 물리학의 빠른 발전은 모호한 개념이나 증명을 바탕으로 이루어진 경우가 많았다. 몇 가지 쉬운 예를 들면
라는 기하급수,geometric_series의 식이 인 수 에 대해 성립함은 쉽게 알 수 있다. 그런데 에 을 대입하여, 이라는 1과 0을 반복하는 급수가 로 수렴한다는(잘못된) 결과를 사용하기도 했다. 또한 연속 곡선에 관한 정확한 개념이 정립되지 않아 연속인 곡선은 모든 점에서 미분 가능하다는 그른 증명이 당시 교과서에 주어지곤 했다.[1]
6. 프랙탈,fractal ¶
프랙탈 도형의 넓이를 구할 때 무한급수가 쓰임.
시에르핀스키 or 시어핀스키_삼각형 or gasket
Sierpiński triangle
Sierpiński triangle
코흐_곡선 코크 곡선
Koch curve
Koch curve
관련: 극한,limit
qqq 프랙탈은 패턴,pattern인가?
7. 거듭제곱의 합 ¶
1², 2², 3², 4², ..., n², ... 의 합
의 값은?
의 값은?
항등식 의 x에 1, 2, 3, ..., n을 차례로 대입하면 다음과 같다.
세로로 더하면,
이것을 정리하면
MKLINK: Faulhaber_formula(writing)
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- [1] '올바른 수학을 찾아서', 김병한.