벡터공간의 부분집합,subset이 벡터공간의 성질을 가질 경우(...의 공리를 모두 만족할 경우) 부분공간이라고 불러주는 것? chk
대충:
(벡터공간,vector_space의 부분집합이?) 두 가지 조건 - vector_addition에 대해 닫혀 있고, scalar배에 대해 닫혀 있으면
부분공간.
정의:
집합 V를 벡터공간이라 하고 W(≠0)를 V의 부분집합이라 하자.
이 때, 벡터공간 V에서 정의된 덧셈과 스칼라배에 관하여 W가 벡터공간을 이룰 때,
W를 V의 부분공간(subspace)이라고 한다.
정의 (Zill Defintion 7.6.2)
If a subset
of a vector space
is itself a vector space under the operations of vector addition and scalar multiplication defined on
then
is called a
subspace of
벡터공간
의 부분집합
가 그 자체로
위에서 정의된 벡터 덧셈과 스칼라곱에 대하여 벡터공간이 되면,
를
의
부분공간이라 한다. (ko)
모든 벡터공간
는 적어도 두 부분공간을 가진다.
- 자체
- zero subspace ...이건 명백히 영공간,null_space과 다름. btw, QQQ 영부분공간,zero_subspace라는 페이지 만들 필요 있나 없나?
이건 스칼라배에 대해 닫혀있어야 하므로 - 따라서 0의 곱셈에 대해서도 닫혀있어야 하므로 - 자명하게 나오는 성질? ... 정의 중 하나인지 아님 성질인지? chk
선형독립,linear_independence과 밀접.
정의 (
최도훈(http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1285101) 3강 10m)
V는 벡터공간
W는 V의 부분집합이며, 공집합은 아님 (W⊂V, W≠∅)
여기서 W가 V의 부분공간이라고 하려면, W도 벡터공간이어야 한다.
(생각) 그럼 대충 이런듯. 부분공간이란,
- 벡터공간의 부분집합
- 공집합은 아님
- 그 자체로도 벡터공간이어야 함
W is a subspace of V iff W satisfies
① u,v ∈ W ⇒ u+v ∈ W
② c scalar, u ∈ W ⇒ cu ∈ W
부분공간의 판정 기준
벡터공간,vector_space V의
공집합,empty_set이 아닌
부분집합,subset W가
부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 W가 V에서 정의된 벡터 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀 있을 때이다.
- x와 y가 W 안에 있을 때 x+y도 W 안에 있다.
- x가 W 안에 있고, k가 임의의 스칼라이면, kx는 W 안에 있다.
(Zill 6e ko 정리 7.6.1 p441)
(
차원,dimension,
기저,basis,
생성,span을 설명하고 바로 뒤에)
벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합으로, 그 자체가 벡터공간인 경우 (V에서 정의된 덧셈과 스칼라곱을 가지고), 이를 벡터공간 V의
부분공간(subspace)이라고 한다.
(Kreyszig 7.4 벡터공간)
예 (최도훈)
W
5 : the
vector space of all functions on [0,1]
W
4 : the set of all integrable functions on [0,1]
W
3 : the set of all
continuous functions on [0,1]
W
2 : the set of all differentiable functions on [0,1]
W
1 : the set of all
polynomials on [0,1]
여기서, W
5 ⊃ W
4 ⊃ W
3 ⊃ W
2 ⊃ W
1이라고.
Thm.
V : 한 벡터공간
U and W : V의 부분공간
⇒
U ∩ W 는 V의 부분공간
즉 subspace의 교집합은 다시 subspace. (증명은 어렵지 않다는데 생략, 찾으려면 see 소스)
3. 이하 인터넷 페이지들 요약 CHK MERGE DELME ¶
3.1. Khan Academy: Lin Alg: Linear Subspaces ¶
V subspace of ℝn:
V contains zero vector
일단 closure(폐포, 닫힘)이란 단어가 나온다. 집합론/군론의 closed랑 호환되는 거겠지 아마..
x in V → cx in V : closure under scalar multiplication
a in V, b in V → a+b in V : closure under addition
이상 세 가지 조건을 만족하면 subspace? CHK
3.2. wikidocs 책 03) 부분공간 ¶
3.3. 행공간, 열공간, 영공간 ¶
이것들은 모두 벡터공간, 부분공간?
A를 m×n행렬이라 할 때
A의 행벡터 r
1, r
2, …, r
m이
생성하는 ℝ
n의
subspace를 A의 행공간(row space)이라 함.
행공간,row_space
A의 열벡터 c
1, c
2, …, c
n이 생성하는 ℝ
m의
subspace를 A의 열공간(column space)이라 함.
열공간,column_space
ℝ
n의
subspace의 동차연립방정식 Ax=0의 해로 이루어진 공간을 영공간(null space)이라 함.
영공간,null_space
비동차연립일차방정식 Ax=b의 일반해는, 동일한 A를 가지는 Ax=0의
일반해,general_solution에,
특수해,particular_solution를 추가해 얻을 수 있다고. //todo:
해,solution에서 이곳 link
위에서 언급했듯, A의 영공간은 Ax=0의 해공간.
만약 x
0가 비동차연립일차방정식 Ax=b의 어떤 해이고,
S={v
1, v
2, ..., v
k}가 A의 영공간의
기저,basis라면,
Ax=b의 모든 해는 다음 형태로 표현 가능:
x는 Ax=b의
일반해,general_solution가 되고,
x
0는 Ax=b의
특수해,particular_solution이며,
위의 x에서 x
0를 제외한 나머지 부분은 Ax=0의 일반해라고 한다.
결론:
비동차연립일차방정식의 일반해는, 그 연립방정식의 특수해와 동차연립방정식의 일반해의 합이다.
영부분공간(zero subspace):
영벡터만으로 구성된 집합
행렬 A의 열공간(column space, range, image):
행렬 A의 열벡터들의 모든 선형결합의 집합.
기호: Col(A)
(저 밑에부터는 괄호를 안 적었는데 별 상관은 없겠지....)
// A, x 위에 화살표 맞는지, R이 실수집합 맞는지, chk....
행렬 A의 행공간(row space)
기호: Row A
// x_i는 c_i 아닌가? 바로 밑에 나온 것처럼.
행공간과 영공간의 직교.
식으로
즉 (행공간벡터)(영공간벡터 x) = 0
// 끝에 a_i는 a_m 아닌가??
추축열(pivotal column):
행사다리꼴에서 추축(pivot)을 갖는 행렬의 열.
행렬 A의 추축열들은 열공간(column space)의 기저가 된다.
//주축열이라고 하는 곳도 있던데
계수,rank
계수 정리(rank theorem), rank-nullity thm
행렬 A가 n개의 열을 가지면
rank A + dim Nul A = n
여기서
dim Nul A (= A의 nullity) : 자유변수(free variable) 개수
rank A : 추축열(pivotal column) 개수
left nullspace 생략.
rank A = rank A
T 생략.
가역행렬정리 생략.
}
4. 인터넷 페이지들 요약 CHK MERGE DELME ¶
CHK, 인터넷 포스팅 등을 참조하였음. 확인 후 본문에 merge.
{
선형결합으로 이루어지는 공간이 1. 원점을 지나고 2. 덧셈 연산에 닫혀있는 경우, 부분 공간(subspace)이 될 수도 있다.
V와 W는 벡터공간이고, V가 W의 부분집합이면, V는 W의 부분공간(subspace)이라고 한다.
다시 정리하면, 벡터공간 V의 부분집합인 H가 다음을 만족할 때 부분공간(subspace)이라고 한다.
- V에 속하는 영벡터(zero vector)가 H의 원소이다.
- u,v∈H, u+v∈H, v+u∈H
- u∈H이고 임의의 스칼라 c에 대해 cu∈H
//
https://wegonnamakeit.tistory.com/40
정의
상의 부분공간의 예.
영부분공간(zero subspace) : 영벡터만을 원소로 가짐.
영벡터의 스칼라곱과 두 영벡터의 합은 영벡터이므로,
상의 부분공간임.
그 자체
상의 벡터의 스칼라곱은
상의 벡터가 되며
상의 두 벡터의 합은
상의 벡터가 되므로.
(위 둘은 자명한 부분공간(trivial subspace).)
정의(2)
가
상의 벡터일 때, 모든 일차결합
들의 집합은
상의
부분공간이 된다.
이렇게 만들어진
상의 부분공간
를,
의
생성,span이라 하며 다음과 같이 표기.
혹은
가
를 생성한다고 함.
는 매개변수(parameters).
정리:
임의의
의
부분공간은 반드시 zero vector를 포함해야 한다.
아래에서 영벡터(zero vector)=원점(origin) 혼용됨. 일부러 혼용함 - 여기서 완전히 같은 뜻인듯.
벡터공간 V의 부분집합 W가 있다.
W는 공집합이 아니다.
V상에서 정의된 덧셈과 스칼라곱에 대해
벡터공간,vector_space이 될 때,
(i.e. 벡터공간의 열 공리를 만족할 때)
W를 벡터공간 V의
부분공간이라 한다. 표기는:
어떤 부분공간들의 합집합(∪)은 부분공간이 아니다. (QQQ 즉, 항상 아니라는 뜻?)
어떤 부분공간들의 교집합(∩)은 부분공간이다.
2D 벡터공간의 부분공간:
- 그 전체
- 원점(zero vector)
- 원점을 지나는 모든 직선
3D 벡터공간의 부분공간:
- 그 전체
- 원점(zero vector)
- 원점을 지나는 모든 직선
- 원점을 지나는 모든 평면
부분공간의 조건
- 벡터 합이 부분공간 내에 있어야 (즉 닫혀있다)
- 벡터의 실수배가 부분공간 내에 있어야
- 원점을 반드시 포함해야 (즉 실수배에서 실수가 0인 경우)
2D 벡터공간에서, 원점을 지나지 않는 선은 부분공간이 될 수 없음. (선 벡터에 0을 곱하면 영벡터가 나오는데, 이 결과가 선을 벗어나므로 - CHK)
3D 벡터공간에 원점을 지나는 직선(L)과 평면(P)가 있다고 가정. L은 P위에 있지 않다. 교차점은 원점 뿐이다.
그러면 다음은 부분공간인가?
P∪L
no. 합 결과가 P, L을 모두 벗어날 수 있다.
P∩L
yes. 원점뿐이므로.
열공간,column_space 생략
}