Difference between r1.25 and the current

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Given vectors $\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_p}\in\mathbb{R}^n$ and given scalars $c_1,c_2,\cdots,c_p,$ the vector $\vec{y}$ defined by
$\vec{y}=c_1\vec{v_1}+\cdots+c_p\vec{v_p}$

is called a '''linear combination''' of $\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}$ with weights $c_1,\cdots,c_p.$

is called a '''linear combination''' of $\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}$ with [[가중값,weight|weights]] $c_1,\cdots,c_p.$

(Lay)
## from Lay: Linear Combinations

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인 형태를 $\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_k}$ 의 '''일차결합'''(linear combination)이라 한다.
## from BigBook LinearAlgebra
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Let $V$ be a [[벡터공간,vector_space|vector space]] and let $S=\lbrace \vec{v_1},\cdots,\vec{v_k}\rbrace$ be a subset of $V.$

Let $V$ be a [[벡터공간,vector_space|vector space]] and let $S=\lbrace \vec{v_1},\cdots,\vec{v_k}\rbrace$ be a [[부분집합,subset|subset]] of $V.$

A [[벡터,vector|vector]]
$a_1\vec{v_1}+\cdots+a_k\vec{v_k}$
for some $a_i\in\mathbb{R}$ is called a '''linear combination''' of $S.$

[[https://blog.naver.com/er7812/221369104387 src]]
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(정의) $x_1,\cdots,x_n$ 의 '''선형결합'''의 형태는

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n-[[튜플,tuple]] $(s_1,s_2,\cdots,s_n)\in\mathbb{R}^n$ 를 변수에 넣어(substitute) 성립하면, 즉
$a_1s_1+a_2s_2+\cdots+a_ns_n=d$
이면, [[해,solution]]라고 하거나 '만족한다'고 한다.

(Hefferon 1.1 Def)
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여기(선형결합)의 상위개념?
// fork later to : [[결합,combination]]?
{

한국어 단어 결합은 ~~저기에서도~~ 쓰임: [[결합,joint]]

~~이름이~~ 관련, 영단어가 같음: [[조합,combination]]

이름이 관련

한국어 단어 '결합'의 다른 뜻: 확률론의 [[결합,joint]], 화학의 [[결합,bond]]([[화학결합,chemical_bond]])

같은 영단어 'combination': [[조합,combination]]

// tmp from https://ratsgo.github.io/convex%20optimization/2017/12/25/convexset/ 처음부분
벡터 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 이 있을 때, 이들을 결합하는 방식 세 가지
* [[선형결합,linear_combination]] : $\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_n x_n \;\; (\alpha_i\in\mathbb{R})$
* [[아핀결합,affine_combination]] : $\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_n x_n \;\; (\textstyle\sum_i\alpha_i=1)$
* [[볼록결합,convex_combination]] : $\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_n x_n \;\; (\textstyle\sum_i\alpha_i=1 \,\textrm{ and }\, 0 \le \alpha_i \le 1)$

// tmp 같이 참고: https://blog.naver.com/wjdtjsrms11/222623431037 (중간쯤)

[[아핀결합,affine_combination]]에 대해 닫힌 집합은 [[아핀집합,affine_set]].
[[볼록결합,convex_combination]]에 대해 닫힌 집합은 [[볼록집합,convex_set]].

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[[선형독립,linear_independence]]

Twins:

[[WpEn:Linear_combination]]

[[http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3405274&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 일차결합]]

https://mathworld.wolfram.com/LinearCombination.html (easy)

[[WpEn:Linear_combination]]

[[http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3405274&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 일차결합]]

https://mathworld.wolfram.com/LinearCombination.html (easy)

계산 및 출력하는 코드: https://rosettacode.org/wiki/Display_a_linear_combination

Up: [[선형대수,linear_algebra]]

''[[결합,combination]]? [[조합,combination]] 말고''

tmp note: forked from [[여러가지미분표와적분표]]

AKA 일차결합

함수 $f_1,\cdots,f_n$
상수 $c_1,\cdots,c_n$ 일 때
linear combination of $f_1,\cdots,f_n:$

$\sum_{i=1}^{n}c_if_i=c_1f_1+c_2f_2+\cdots+c_nf_n$

Given vectors $\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_p}\in\mathbb{R}^n$ and given scalars $c_1,c_2,\cdots,c_p,$ the vector $\vec{y}$ defined by

$\vec{y}=c_1\vec{v_1}+\cdots+c_p\vec{v_p}$

is called a linear combination of $\vec{v_1},\cdots,\vec{v_p}$ with weights $c_1,\cdots,c_p.$

(Lay)

$\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_k}$ 가 $\mathbb{R}^n$ 의 벡터,vector이고, 계수 $c_1,c_2,\cdots,c_k$ 가 실수일 때,

$\vec{x}=c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}+\cdots+c_k\vec{v_k}$

인 형태를 $\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_k}$ 의 일차결합(linear combination)이라 한다.

Let $V$ be a vector space and let $S=\lbrace \vec{v_1},\cdots,\vec{v_k}\rbrace$ be a subset of $V.$
A vector

$a_1\vec{v_1}+\cdots+a_k\vec{v_k}$

for some $a_i\in\mathbb{R}$ is called a linear combination of $S.$

src

(정의) $x_1,\cdots,x_n$ 의 선형결합의 형태는

$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$

이고 $a_1,\cdots,a_n\in\mathbb{R}$ 은 결합의 계수,coefficient들이다.
변수 $x_1,\cdots,x_n$ 의 선형방정식,linear_equation의 형태는

$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=d$

이고 $d\in\mathbb{R}$ 은 상수,constant이다.
n-튜플,tuple $(s_1,s_2,\cdots,s_n)\in\mathbb{R}^n$ 를 변수에 넣어(substitute) 성립하면, 즉

$a_1s_1+a_2s_2+\cdots+a_ns_n=d$

이면, 해,solution라고 하거나 '만족한다'고 한다.

(Hefferon 1.1 Def)

[edit]

tmp ¶

$\vec{v}=\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{bmatrix},\;\vec{w}=\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix}$
일 때
$\alpha\vec{v}+\beta\vec{w}=\alpha\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha a_1+\beta a_2\\ \alpha b_1+\beta b_2\\ \alpha c_1+\beta c_2\end{bmatrix}$

이것은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
$\begin{bmatrix}\vec{v}&\vec{w}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\\c_1&c_2\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\\c_1&c_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha a_1+\beta a_2\\ \alpha b_1+\beta b_2\\ \alpha c_1+\beta c_2\end{bmatrix}=\alpha\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix}$

[edit]

tmp 2 ¶

QQQ 일차결합이 있으면 quadratic.combination같은 것도 정의 가능? or meaningless? ( 이차결합은 2022-04-04 현재 화학 얘기만 줄줄..)

[edit]

tmp 3 ¶

평면,plane위 두 벡터,vector의 선형결합은 직선,line 혹은 평행사변형,parallelogram을 만드는 개념? chk

[edit]

결합(combination) ¶

여기(선형결합)의 상위개념?
// fork later to : 결합,combination?
{
이름이 관련
한국어 단어 '결합'의 다른 뜻: 확률론의 결합,joint, 화학의 결합,bond(화학결합,chemical_bond)
같은 영단어 'combination': 조합,combination

// tmp from https://ratsgo.github.io/convex optimization/2017/12/25/convexset/ 처음부분
벡터 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 이 있을 때, 이들을 결합하는 방식 세 가지

선형결합,linear_combination : $\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_n x_n \;\; (\alpha_i\in\mathbb{R})$
아핀결합,affine_combination : $\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_n x_n \;\; (\textstyle\sum_i\alpha_i=1)$
볼록결합,convex_combination : $\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_n x_n \;\; (\textstyle\sum_i\alpha_i=1 \,\textrm{ and }\, 0 \le \alpha_i \le 1)$