체 (field)
대충 사칙연산=가감승제(기본적 산술,arithmetic 연산,operation 네가지, 단 division_by_zero만 제외?)를 자유롭게 할 수 있는 수들의 집합? 또는 거기에 연산도 포함? - 수들의 집합인듯.
사칙계산에 대해 닫혀 있는 집합을 체(field)라 부른다. (박부성)
2023-06-13
- 글쎄? 단순 집합 같지 않은데? 실수체가 다루는 수의 집합을 실수라고도 하고, 실수체를 실수라고도 하고, 이런 용어 사용 같은데?
- 추상대수,abstract_algebra에서 다루는 구조,structure 중 하나?
'가감승제가 자유로운 집합'. 유리수체(유리수 전체의 집합), 실수체, etc. 실수체 = 실수 전체의 집합. (김홍종)- 글쎄? 단순 집합 같지 않은데? 실수체가 다루는 수의 집합을 실수라고도 하고, 실수체를 실수라고도 하고, 이런 용어 사용 같은데?
- 추상대수,abstract_algebra에서 다루는 구조,structure 중 하나?
사칙계산에 대해 닫혀 있는 집합을 체(field)라 부른다. (박부성)
집합,set F가 다음 성질을 갖는다면, F는 체.
- TOCLEANUP
- F가 덧셈,addition과 곱셈,multiplication +, *에 대해 닫힘
- +, *에 대한 결합법칙,associativity, 교환법칙,commutativity 성립
- 항등원,identity_element 0, 1 존재하며 0≠1
- 역원,inverse_element -a, a-1 존재 (후자는 F-{0}에 대해서만)
- +, *에 대해 분배법칙,distributivity 성립
- 두 이항연산,binary_operation을 가짐 - (+, ·)
- 닫힘(closed)
- 덧셈 교환법칙 a+b=b+a
- 곱셈 교환법칙 a·b=b·a
- 덧셈 결합법칙 (a+b)+c=a+(b+c)
- 곱셈 결합법칙 (a·b)·c=a·(b·c)
- 덧셈 항등원 존재 0+a=a+0=a ...영,zero?
- 곱셈 항등원 존재 1·a=a·1=a ...하나,one?
- 덧셈 역원 존재 ∃-a st a+(-a)=0
- 곱셈 역원 존재 ∃b-1 st b·b-1=1
- 덧셈과 곱셈 분배법칙 a·(b+c)=a·b+a·c
체공리 field_axiom
https://mathworld.wolfram.com/FieldAxioms.html
http://mathonline.wikidot.com/field-axioms
Up: 공리,axiom
https://mathworld.wolfram.com/FieldAxioms.html
http://mathonline.wikidot.com/field-axioms
Up: 공리,axiom
참고로 용어
0 : additive identity
1 : multiplicative identity
r에 대해 -r: additive inverse
0을 제외한 r에 대해 r-1: multiplicative inverse
// 항등원,identity_element and 역원,inverse_element1 : multiplicative identity
r에 대해 -r: additive inverse
0을 제외한 r에 대해 r-1: multiplicative inverse
순서체,ordered_field(writing)와 순서체가 아닌 체가 있음
체는 수 없이 많은데..
{
AKA 유한체 finite field, 갈루아 체 Galois field
{
AKA 유한체 finite field, 갈루아 체 Galois field
유한체를 GF()로 쓰는 것이 이 때문? chk
원소의 개수가 유한 개인 체,field.See examples(보기): 수학백과: 체
tmp bmks en
https://everything2.com/title/automorphisms of finite fields // 유한체의 자기동형사상,automorphism
https://everything2.com/title/automorphisms of finite fields // 유한체의 자기동형사상,automorphism
수학백과: 유한체
https://mathworld.wolfram.com/FiniteField.html
https://planetmath.org/finitefield
https://everything2.com/title/finite field (long)
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Galois_field - finite field
https://mathworld.wolfram.com/FiniteField.html
https://planetmath.org/finitefield
https://everything2.com/title/finite field (long)
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Galois_field - finite field
정역,integral_domain에 대해 정의? chk
Field_of_fractions
분수체 - 정수환의 분수체는 유리수체
https://mathworld.wolfram.com/FieldofFractions.html
https://ncatlab.org/nlab/show/field of fractions
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Field_of_fractions
https://everything2.com/title/field of fractions
https://planetmath.org/fractionfield
분수체 - 정수환의 분수체는 유리수체
https://mathworld.wolfram.com/FieldofFractions.html
https://ncatlab.org/nlab/show/field of fractions
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Field_of_fractions
https://everything2.com/title/field of fractions
https://planetmath.org/fractionfield
수학백과: 분수체
"주어진 정역을 포함하는 최소의 체(field)를 뜻하며 몫체(field of quotients)라고 하기도 한다."
}
{
수체 number field
//tmp from https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=number field
{
algebraic number field 대수적 수체
rational number field 유리수체
real number field 실수체
complex number field 복소수체
}
https://ncatlab.org/nlab/show/number field
}
"주어진 정역을 포함하는 최소의 체(field)를 뜻하며 몫체(field of quotients)라고 하기도 한다."
}
{
수체 number field
//tmp from https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=number field
{
algebraic number field 대수적 수체
rational number field 유리수체
real number field 실수체
complex number field 복소수체
}
https://ncatlab.org/nlab/show/number field
}
소체,prime_field - writing
분해체,splitting_field - writing
...
준동형사상,homomorphism이란 두 체 사이에서 구조를 보존하는 사상,map인데 정작 체에서는 준동형사상 개념을 잘 안 쓴다고 서술.. (수학백과 참조)
표수 - 환,ring#s-6참조.
분해체,splitting_field - writing
...
준동형사상,homomorphism이란 두 체 사이에서 구조를 보존하는 사상,map인데 정작 체에서는 준동형사상 개념을 잘 안 쓴다고 서술.. (수학백과 참조)
표수 - 환,ring#s-6참조.
1. 체인 것의 예 ¶
- 유리수,rational_number집합 ℚ
- 실수,real_number집합 ℝ
- 복소수,complex_number집합 ℂ
- 덧셈과 곱셈이 다음과 같이 정의된 // 각각 짝수,even_number 홀수,odd_number로 '볼 수 있는'건지? 아님 그 자체? chk
+ 0 1 · 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1
- 그리고 (아래첨자가 모두 소수,prime_number)
2. 체가 아닌 것의 예 ¶
- 그런데 는 field가 아니다. ∴ There is no multiplicative_inverse of 2 in Z4 (multiplicative_inverse of 2 가 Z4안에 없음):
2·0=0
2·1=2
2·2=0
2·3=2 ... 를 보면 2에 무엇을 곱하더라도 절대 1이 나오지 않는다 - 숫자 2에 대한 곱셈의 역원이 존재하지 않는다
- 자연수,natural_number ℕ // ex. 3의 곱셈의 역원이 없다
- 정수,integer ℤ
3. Borel field ¶
보렐 집합체 Borel_field
결과,outcome들의 집합인 표본공간,sample_space을 entire real line 로 잡기에 너무 큰 경우, all events of practical interest를 포함한 더 작은 class를 잡는다. 이것을 Borel field 이라 한다.
결과,outcome들의 집합인 표본공간,sample_space을 entire real line 로 잡기에 너무 큰 경우, all events of practical interest를 포함한 더 작은 class를 잡는다. 이것을 Borel field 이라 한다.
related?: event_class (goto 사건,event#s-9)
(Leon-Garcia 2.2.2 Continuous Sample Spaces; p37; Section 2.9 discusses B in more detail.)
(Leon-Garcia 2.2.2 Continuous Sample Spaces; p37; Section 2.9 discusses B in more detail.)
chk: borel sigma field 와 borel field 의 정확한 관계?
보렐 시그마-체(Borel sigma field), Borel sigma-algebra
https://seoncheolpark.github.io/book/_book/4-5-borel-sigma-field.html
보렐 시그마-체(Borel sigma field), Borel sigma-algebra
https://seoncheolpark.github.io/book/_book/4-5-borel-sigma-field.html
4. skew field ¶
skew_field = division_ring = 나눗셈대수,division_algebra
(kms: skew field = 꼬인 체 = 비가환체 = 나눗셈환,division_ring... pagename TBD)
see 환,ring, https://mathworld.wolfram.com/DivisionAlgebra.html
(kms: skew field = 꼬인 체 = 비가환체 = 나눗셈환,division_ring... pagename TBD)
see 환,ring, https://mathworld.wolfram.com/DivisionAlgebra.html
곱셈의 가환 조건을 만족하지 않으면 꼬인 체 ? chk
5. See also ¶
공간,space과 관계가?
물리에서 field는 장,field
Twins:
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Field
수학백과: 체
수학백과: 실수계 앞부분도 참조.
두산백과: 체
Field_(mathematics)
https://mathworld.wolfram.com/Field.html
https://en.citizendium.org/wiki/Field_(mathematics)
https://everything2.com/title/field
체_(수학) 2022-01-01 현재 정리가 잘 안되어있지만 나아질 것이므로..
Field_(mathematics) ★(Good article)
체_(수학)
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Field
https://ncatlab.org/nlab/show/field
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Field
수학백과: 체
수학백과: 실수계 앞부분도 참조.
두산백과: 체
Field_(mathematics)
https://mathworld.wolfram.com/Field.html
https://en.citizendium.org/wiki/Field_(mathematics)
https://everything2.com/title/field
체_(수학) 2022-01-01 현재 정리가 잘 안되어있지만 나아질 것이므로..
Field_(mathematics) ★(Good article)
체_(수학)
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Field
https://ncatlab.org/nlab/show/field