산술,arithmetic

산술 법칙, 산술, 셈법
수,number와 그 연산,operation/계산,computation/calculation에 대해 탐구.

Sub:
// 대상이 되는 수,number 종류에 따라, 혹은 수표현,number_representation 방식에 따라
binary_arithmetic
WtEn:binary_arithmetic (뻔함)
WpEn:Category:Binary_arithmetic
binary arithmetic과 binary logic (i.e. 불_논리,Boolean_logic)의 차이: ex.
binary arithmetic에서는 1+1=10
binary logic에서는 1+1=1
(사실 위 두 줄의 연산 +의 의미가 좀 다르다, 각각 덧셈,addition(binary addition) and OR연산(근데 덧셈의 일종이나 변형으로 볼 수도 있는??))
integer_arithmetic - 정수,integer / or natural_number_arithmetic?
같은 방식으로 소수점 아래까지 다루면 유리수산술로 확장할 수 있고,
루트 기호(근호,radical_sign)나 특수한 문자(e, π 등)을 써서 실수 산술로 쉽게 누구나 확장할 수 있으므로
자연수 산술/정수 산술 만을 특정해서 서술하는 encyclopedic entry는 없는 것 같음.
complex_arithmetic - 복소수,complex_number
complex number arithmetic
이것도 i를 symbolic하게(i.e. '기호로') 다루면 실수 산술과 크게 다를 게 없으므로 마찬가지.
// and..
modular_arithmetic (모듈러/모듈로/모듈라/나머지/합동) (산술/산수/연산)
Cmp:
(1) Ggl:n-ary vs n-adic
(2) modulo vs 법,modulus
{ Google:modulo.vs.modulus / Ggl:modulo modulus 차이 / WtEn:modulo / WtEn:modulus } // https://mathworld.wolfram.com/Modulus.html
MKL
residue
나머지,remainder
나눗셈,division esp 정수나눗셈,integer_division(curr 나눗셈,division#s-1)의 나머지,remainder
정수론,number_theory
환,ring
아이디얼,ideal
합동,congruence(다른 합동 말고 정수론의 합동)
NN:진법
원시근,primitive_root ... WpSp:Primitive_root_modulo_n WpEn:Primitive_root_modulo_n
모든 $m\in\lbrace 1, 2, \cdots, n-1 \rbrace$ 이 $g^x\equiv m\pmod n$ 형식으로 표현된다면, $g$ is a primitive root modulo $n.$ (ws)
동치관계,equivalence_relation ... a≡b(mod c)같은 식으로 나타내는.
p진수,p-adic_number
tmp bmks en:
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Modular_arithmetic
WtEn:modular_arithmetic
Twins:
https://en.citizendium.org/wiki/Modular_arithmetic - '''시계산술 패리티산술 ... 이렇게 쉬운 예부터 하나씩 TBW'' Google:clock_arithmetic Google:parity_arithmetic
https://mathworld.wolfram.com/ModularArithmetic.html
WpSp:Modular_arithmetic
WpEn:Modular_arithmetic
WpKo:모듈러_산술
Libre:모듈러산술
프레스버거_산술,Presburger_arithmetic
로빈슨 산술(Robinson arithmetic) Robinson_arithmetic
WpEn:Robinson_arithmetic
WpJa:ロビンソン算術
https://googology.fandom.com/wiki/Robinson_arithmetic
https://ncatlab.org/nlab/show/Robinson arithmetic
// tmp: "결정가능한 1차논리 이론의 대표적 예시로 .. 프레스버거 산술(Presburger arithmetic) 따위가 있으며,
// 결정 불가능한 이론의 예시로 산술의 기초적인 명제들을 증명할 수 있는 로빈슨 산술(Robinson arithmetic)이나 .. 따위가 있다."[1]
// Misc. (del ok) 대수학,algebra에는 이름 앞부분이 조금 비슷한 Robbins_algebra 가 있다
페아노_산술,Peano_arithmetic - w
MKL
페아노_수,Peano_number w { https://wiki.haskell.org/Peano_numbers }
페아노_공리,Peano_axiom w
자연수,natural_number
zeration = successor_function ... Ggl:zeration
Twin
https://www.pls-lab.org/en/Peano_arithmetic
참고: [https]수학백과: 불완전성 정리의 '2. 페아노 산술' 참조 - 불완전성정리,incompleteness_theorem 설명에 앞서 페아노 산술을 1계논리(일계논리=일차논리,first-order_logic?)로 간략히 기술한 내용.
https://ncatlab.org/nlab/show/Peano arithmetic
WpEn:Peano_arithmetic redir. to Peano_axioms의 한 섹션 - 페아노_공리,Peano_axiom에서 induction_axiom을 제외하면 모두 일차논리,first-order_logic의 statements들이다. 그리고 axiom of induction(귀납공리? 귀납,induction)은 술어,predicate에 대한 quantifier가 있으므로 이차논리,second-order_logic의 statement이다.
...Ggl:Peano arithmetic
헤이팅_산술,Heyting_arithmetic - w
Heyting arithmetic
Arend_Heyting ?
WtEn:Heyting_arithmetic x 2024-04
WpEn:Heyting_arithmetic
https://ncatlab.org/nlab/show/Heyting arithmetic
...Ggl:Heyting arithmetic Bing:Heyting arithmetic Naver:Heyting arithmetic
스콜렘 산술 Skolem_arithmetic - w
Skolem arithmetic
Thoralf_Skolem ?
WtEn:Skolem_arithmetic x 2024-04
WpEn:Skolem_arithmetic
... Ggl:Skolem arithmetic Bing:Skolem arithmetic Naver:Skolem arithmetic
Nelson_arithmetic 넬슨_산술 ?
Nelson arithmetic
https://ncatlab.org/nlab/show/Nelson arithmetic
...Ggl:Nelson arithmetic Bing:Nelson arithmetic

이상 중에서 몇가지는 integer_arithmetic이었고(?) ... i.e. 나중에 대상이 되는 수,number? 대상,object?의 타입,type에 따른 산술의 분류도 필요, TBW
floating-point_arithmetic = floating point arithmetic - curr see 부동소수점,floating_point - floating-point_unit (FPU)에서 처리하는
arbitrary-precision arithmetic (bignum arithmetic) - curr see 부동소수점 맨밑
... (나중에 체계가 잡혀지면 리스트 맨 위로 merge)

second-order_arithmetic - w
WpEn:Second-order_arithmetic
https://ncatlab.org/nlab/show/second-order arithmetic
... Google:Second-order.arithmetic
see also https://www.pls-lab.org/en/Arithmetic
Rel
reverse_mathematics ... "Reverse mathematics is usually carried out using subsystems of second-order arithmetic"[2]
{
WpEn:Reverse_mathematics
}

그렇다면 first-order_arithmetic 도 존재? - yes
first-order_arithmetic - w
Google:first order arithmetic

third도?
Google:third order arithmetic
Google:higher order arithmetic
....
(이건 이것들의 해당하는 -order_logic과 MKL) ... i.e. 영차논리,zeroth-order_logic~명제논리,propositional_logic / 일차논리,first-order_logic~술어논리,predicate_logic / 이차논리,second-order_logic~? / ... etc.

true_arithmetic - w
true arithmetic
WtEn:true_arithmetic x 2024-04
WpEn:True_arithmetic
// ... Google:true.arithmetic Bing:true arithmetic

cardinal_arithmetic - w
cardinal arithmetic
WtEn:cardinal_arithmetic x 2024-04
rel. cardinality cardinal_number
https://planetmath.org/cardinalarithmetic - 보면 cardinal_addition cardinal_multiplication cardinal_exponentiation 도 정의해준다
// ... Ggl:cardinal arithmetic Bing:cardinal arithmetic

arithmetical_hierarchy - w rr
arithmetical hierarchy
WtEn:arithmetical_hierarchy
WpKo:산술적_위계
WpEn:Arithmetical_hierarchy
Up: 산술,arithmetic 위계,hierarchy
// ... Ggl:arithmetical hierarchy Bing:arithmetical hierarchy Naver:arithmetical hierarchy

구간산술,interval_arithmetic - w (curr see 구간,interval)

퍼지산술,fuzzy_arithmetic - w - 퍼지논리,fuzzy_logic관련. 거기에 작성중.

포인터산술,pointer_arithmetic - w - of 포인터,pointer, 프로그래밍언어,programming_language

transreal_arithmetic - w { WpEn:James_A._D._W._Anderson#Transreal_arithmetic }
transreal arithmetic
// ... Ggl:transreal arithmetic

elementary_function_arithmetic
elementary function arithmetic (EFA)
AKA elementary arithmetic, exponential function arithmetic (we)
즉 명칭만 보면 초등산술, 초등함수,elementary_function 산술, 지수함수,exponential_function 산술.
초등산술 / 초등함수산술 / 지수함수산술
https://ncatlab.org/nlab/show/elementary function arithmetic
WpEn:Elementary_function_arithmetic
WpJa:初等関数算術
// ... Ggl:elementary function arithmetic

type_arithmetic - w rr - 타입,type
WtEn:type_arithmetic x 2024-04
https://wiki.haskell.org/Type_arithmetic
// ... Ggl:type arithmetic Bing:type arithmetic Naver:type arithmetic

포화산술,saturation_arithmetic - w rr 포화,saturation - 번역은 내 맘대로 한 직역임. chk ... 포화,saturation curr see WpEn:Saturation_arithmetic
rel 디지털신호처리,digital_signal_processing,DSP 부동소수점,floating_point ... 저쪽에서의 일종의 방법론 같은? 아주 대충: 모든 가능한 값,value의 범위,range를 제한하는 최소값,minimum_value 최대값,maximum_value이 있으며, 연산 결과가 최대값보다 크면 정해진 최대값이 되어버리고, 연산 결과가 최소값보다 작은 경우도 마찬가지. 등등. \ (내 생각:) 극값,extremum을 벗어날 때 최대한 정확하도록 exception등으로 따로 구현해 표현해주는게 가능은 하지만, 엄청난 cost가 발생하는데... 굳이 그럴 필요가 없는 경우, 그냥 그 extreme으로 만족해버리도록 처리하는(??)



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1. Complementary arithmetic

complementary arithmetic
complementary_arithmetic
보수,complement

2023-11-08 글쎄, src? Ggl:complementary arithmetic 해보니 Ggl:complement arithmetic 결과가 더 많이 나옴.. complementary_arithmetic

10's complement
2's complement
1's complement

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2. 법칙

교환법칙,commutativity
결합법칙,associativity
분배법칙,distributivity
멱등, 멱등성, 멱등법칙 - idempotence 에 작성중

표:
n. adj.
교환법칙,commutativitycommutativity commutative
결합법칙,associativityassociativity associative
분배법칙,distributivitydistributivity distributive
멱등법칙 idempotence, idempotency idempotent

덧셈,addition 곱셈,multiplication
결합 법칙 $a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$ $abc=(ab)c=a(bc)$
교환 법칙 $a+b=b+a$ $ab=ba$
분배 법칙 $a(b+c)=ab+ac$

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3. 연산

연산,operation
단항연산과 이항연산

단항연산,unary_operation
negation 부호반대? 부호,sign 반대?
계승,factorial?
이항연산,binary_operation:
?
1 덧셈,addition, 가산 뺄셈,subtraction, 감산
2 곱셈,multiplication 나눗셈,division
3 거듭제곱,멱,power ≒ 지수,exponentiation 거듭제곱근,nth_root or 로그,log
4 테트레이션,tetration WpEn:Super-root or WpEn:Super-logarithm
5.. ? ?
이 표에서 좌우는 서로 반대 관계. 逆. anti. negative. inverse.
상하 관계는 없을까?
덧셈을 여러 번 하면 곱셈. 그걸 여러 번 하면 거듭제곱.
하지만 뺄셈을 여러 번 한다고 나눗셈이 되지는 않음.
https://oeis.org/wiki/Addition 의 Hierarchical list of operations pertaining to numbers 를 볼 것.
(2021-05-17) see also WpKo:하이퍼_연산 WpEn:Hyperoperation
계산 결과는
합,sum 차, 차이,difference
곱,product 몫,quotient.....나머지,remainder
? ? 여기서부터는 연산 이름과 그 결과의 이름을 나누지 않는 듯? chk
? ??

radical
근호 = radical symbol, radical sign
괄선(vinculum)이 없는 왼쪽 부분만 있는 것을 surd라고 하는건가? \surd $\surd$
\sqrt{t} $\sqrt{t}$
\sqrt[x]{y} $\sqrt[x]{y}$
radical sign 밑의 숫자는 radicand(해당하는 한글 단어는 없는 것 같고 "근호(根號) 속의 수"가 사전에 나온다.)
curr. goto 제곱근,square_root

합은 적분,integration 차는 미분,differentiation에 각각 유사성이 있었는데 뭐였더라?

사칙연산을 할 수 있는 집합,set - 체,field??

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4. 차원과..

차원,dimension과의 관계.
물리 방정식 계산에서,
덧셈/뺄셈은 차원이 같아야 계산 가능하다. 1kg+2mg은 되지만 1kg+2m는 안된다.
곱셈/나눗셈은 차원이 달라도 계산 가능하다. 10m÷5s=2m/s이다.

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5. tmp; WpEn:Arithmetic읽고.

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5.1. 산술의 기본 정리 fundamental theorem of arithmetic FTA

fundamental_theorem_of_arithmetic
aka unique_factorization_theorem
: 2이상의 모든 정수 has a unique 소인수분해,prime_factorization
$n\in\mathbb{N},\,n>1$ 이라 하면 다음 식을 만족하는 $m\in\mathbb{N}$ 과 소수,prime_number $p_1,p_2,\cdots,p_m$ 이 존재한다.
$n=p_1\cdot p_2 \cdot \cdots \cdot p_m$
특히 약수들의 순서를 고려하지 않는다면 이러한 표현방식은 오직 하나 뿐이다.


(tmp) 주의: 대수학의기본정리 또한 FTA 이므로 주의.. 저건 fundamental_theorem_of_algebra - see 대수학,algebra


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6. CS > PL 에서 실수 산술의 구현에 대해 - Exact real arithmetic

exact_real_arithmetic
계산불가능한 실수는 물론 컴퓨터가 못 다루지만 ('symbolic하게, 근사적으로' 이런거 말고)
계산가능수computable_number인 실수,real_number를 ....
exact하게 다룰 수는 있다, 근데 복잡하다.
(지금 이것은 물론 부동소수점,floating_point 얘기가 아니다.)
일단은 haskell wiki 참조
https://wiki.haskell.org/Exact_real_arithmetic
https://ncatlab.org/nlab/show/exact real computer arithmetic
Google:Exact real arithmetic
Bing:Exact real arithmetic

[edit]

7. arithmetic logic unit (ALU)

프로세서,processor esp CPU안에 arithmetic_logic_unit(ALU)
{
arithmetic logic unit
WtEn:arithmetic_logic_unit
}
에서 정수산술연산, 논리연산을 다룬다.
유사실수(? FPN, 부동소수점수,floating-point_number : 부동소수점,floating_point 수,number)의 산술연산을 다루는 FPU는 거의 항상 ALU와 분리되어 따로 있는 듯. // floating_point_unit OR floating-point_unit
이유? Boolean value에 대한 arithmetic과 integer value에 대한 arithmetic은 비슷하고(사실상 같음) floating point arithmetic은 타입,type이 달라 전혀 다른 처리를 해야 해서?
아님 역사적 이유로 unit이 갈라져 나오고 지금까지 이어진? (초기에는 FPU가 CPU에 없고 별개였던 (이른바 Ggl:coprocessor) 적도 있다)

rel
컴퓨터,computer
컴퓨터구조,computer_architecture
계산,calculation

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8. addhere


[edit]

9. addhere


[edit]

10. addhere


[edit]

11. addhere



[edit]

12. TBW

TBW:
대수학,algebra vs 산술(算術) 차이점은?
각종 _algebra, 각종 _arithmetic 이런것들은 왜 각각 algebra와 arithmetic 으로 이름붙었는지 등등

정수론,number_theory과의 차이점 and 유사성/겹치는것

tmp from WpKo:결정가능성
{
"결정가능한 1차논리(일차논리,first-order_logic) 이론의 대표적 예시로 실폐체(real_closed_field - writing, curr see WpKo:실폐체 WpEn:Real_closed_field )의 이론이나 프레스버거_산술,Presburger_arithmetic 따위가 있으며, 결정 불가능한 이론의 예시로 산술의 기초적인 명제들을 증명할 수 있는 로빈슨 산술(Robinson_arithmetic)이나 군의 이론(군론,group_theory? curr 군,group) 따위가 있다."
}
rel. 결정가능성,decidability? - w


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